Derivadas

Cap´ ıtulo 6

. . . y c´lculo de derivadas a
6.1. Otro punto de vista sobre la definici´n de derivada o

Hemos visto que hay buenas razones para justificar nuestro inter´s en el c´lculo de derivadas. En este e a cap´ ıtulo queremos mejorar nuestra habilidad para calcularlas, utilizando t´cnicas similares a las que hemos e visto en el cap´ ıtulo anterior. Cuando hayamos desarrollado esast´cnicas, la derivada se convertir´ –como e a veremos en los pr´ximos cap´ o ıtulos– en un instrumento muy poderoso para el an´lisis del comportamiento a de las funciones. En el cap´ ıtulo 4 vimos que, para calcular la pendiente de la recta tangente a una funci´n f en un o punto x0 , era conveniente definir la derivada as´ ı: f ′ (x0 ) = l´ ım
x→x0

Vamos a rescribir esta definici´n de otra manera, conun doble objetivo. Por un lado, el objetivo inmeo diato: queremos una definici´n que nos ayude a calcular derivadas. Y adem´s hay un objetivo de m´s o a a largo alcance: cuando, en la segunda parte del curso, nos ocupemos de las funciones de varias variables, tendremos que generalizar a ese contexto buena parte del trabajo que estamos haciendo aqu´ La anterior ı. definici´n de derivada no segeneraliza bien. La que vamos a ver ahora, en cambio, se extiende con mucha o naturalidad a esas situaciones m´s generales. a La idea inicial es que decir que f ′ (x0 ) = l´ ım es lo mismo que decir que la unica soluci´n de ´ o
x→x0 x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

f (x) − f (x0 ) x − x0 =0

l´ ım

f (x) − f (x0 ) −m x − x0

es m = f ′ (x0 ). Esta ultima expresi´n se puede reorganizar as´ sin m´sque agrupar los t´rminos con un ´ o ı, a e denominador com´n: u f (x) − (f (x0 ) + m(x − x0 )) =0 l´ ım x→x0 x − x0 Al escribirlo de esta manera, en el numerador ha aparecido una expresi´n que nos debe resultar familiar o desde el comienzo de nuestras reflexiones sobre la recta tangente. La expresi´n o y = f (x0 ) + m(x − x0 ) es una recta con pendiente m que pasa por el punto (x0 , f (x0 )). Esdecir que tenemos una expresi´n de o la forma: (valor de f ) − (valor de la recta de pendiente m) l´ ım =0 x→x0 x − x0 El numerador representa el error que se comete al aproximar f (x) por la recta de pendiente m en x0 . Es decir: Error al aproximar f mediante una recta de pendiente m =0 l´ ım x→x0 x − x0 57

Por su parte el denominador es la diferencia entre x y x0 , una cantidad que se va a irhaciendo m´s y a m´s peque˜a a medida que x se acerque a x0 . ¡Esa es la clave! Esta expresi´n significa que el error que se a n o comete al aproximar f mediante una recta de pendiente m es muy peque˜o, incluso cuando se compara n con una cantidad que de antemano sabemos que se est´ haciendo peque˜a, como es x − x0 . La derivada es, a n entonces, el unico valor de m para el que se obtiene unarecta con esta excelente calidad de aproximaci´n ´ o de f cerca de x0 . Vamos a utilizar estas ideas como fundamento de la definici´n alternativa de derivada: o  Definici´n 6.1.1 (Segunda definici´n de derivada). o o  La funci´n f es derivable en x0 si existe un n´mero f ′ (x0 ) tal que, al definir el t´rmino de error o u e     E(x) = f (x) − (f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ))     se cumple  E(x)=0 l´ ım x→x0 x − x0 Dejamos al lector la tarea de comprobar que ambas definiciones de derivada son equivalentes. Observaci´n (Representaci´n de una funci´n con derivada). Es decir, que si f es derivable en x0 , o o o podemos escribir: f (x) = (f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )) + E(x) = recta tangente en x0 + t´rmino de error e donde E(x), el t´rmino de error tiene la propiedad: e l´ ım E(x) =0 x − x0x→x0

Insistimos: esta propiedad significa que el error cometido al aproximar f mediante la recta tangente es muy peque˜o cuando nos acercamos a x0 . n En las pr´ximas secciones vamos a ver c´mo utilizar esta definici´n de derivada para desarrollar o o o m´todos de c´lculo de derivadas, similares a los que hemos construido para el c´lculo de l´ e a a ımites. Es decir, m´todos que permitan...