Derivadas

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón decambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia

4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describeel

comportamiento de una función cuando
su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia:Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo

•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones“describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3x2  x  20

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3x2  x  20

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3x2  x  20
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?

y  f  x   3x2  x  20

f  f  x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3x  x  20
2

f  x   f  x 
f 
x  x

f  x   f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

f  x   f  x 
tan  
x  xf  x   f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puedeanalizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

mPQ 

x

f x   f a
x-a

El problema de la rectatangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

x

f x   f a
mPQ 
x-a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

f x   f a
mPQ 
x-a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

f x   f a
mPQ 
x-a

Elproblema de la recta tangente

y

y = f(x)
Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

mPQ 

f x   f a
x-a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: mP  lim

x a

f x   f a
x-a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la...