Derivadas

Calculo de Máximos y Mínimos.

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.
Máximos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Estudiar losmáximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

Criterios para la Obtención de Máximos y Mínimos
1era Derivada
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos ymáximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .
Teorema valor máximo y mínimo
"Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a. Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en ,entonces puede clasificarse como sigue."
1. Si ' cambia de positiva a negativa, entonces tiene un máximo relativo en .
2. Si ' cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en .3. Si ' es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
2da Derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivadaes un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función es convexa en un intervalo abierto que contiene a , y debe ser un mínimo relativo de .
De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en unintervalo abierto que contiene a y debe ser un máximo relativo de .




Teorema de Rolle
El teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de losprincipales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

Se puede enunciar de la siguiente manera,
Si es una función continua definida en un intervalo cerrado , derivable sobre el intervalo abierto y , entonces:
Existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal que .
Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde elvalor de la función es mayor o bien este valor es menor que en los extremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).
Teorema del Valor Medio con Funciones
Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo(ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el...