derivadas




Calculo Diferencial, Derivadas y Límites
Erick Martínez Rubio

3.1 Límites de sucesión
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que lasucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.



3.2 Límite de una función devariable real

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
f:D————->R
x————->x2.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
1. El conjunto inicial o dominio de la función.
2.El conjunto final o imagen de la función.
3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:
f:R ——–>R
x———>x2.
Asigna a cada número real su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular sucuadrado, siendo el resultado otro número real.
Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:
lim(f)=R+.
La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.


Cometario: sirve para saber a qué valor se acerca una función cuando la variable. Esto ocurre también cuando x"no tiene límite", es decir, es infinito, toma valores de x muy grandes para la función.








3.3 Cálculo de límites
Polinomios
limx->a P(x) = P(a)
Ejemplo: limx->2 x2 - 3x + 4 = 2
limx->inf P(x) = limx->inf anxn
Ejemplo: limx->+inf -3x3 + x2 - 2x + 1 = limx->+inf -3x3 = -inf
A(x) | A(α)
lim ---- = | 1) ---- si B(α)≠0
x->α B(x) | B(α)
| 2) infsi B(α)=0 y A(α)≠0
| 3) INDETERMINADO de la forma 0/0
| si B(α)=0 y A(α)=0
Ejemplos:
x2 - 1 3
1) lim ------- = --
x->2 3x - 4 2

x2 - 1 3
2) lim -------- = -- = +inf
x->2 x - 2 0

-2x2 + 5x - 2 0
3) lim -------------- = -- INDETERMINADO
x->2 3x2 - 2x - 8 0

x->2 3x2 - 2x - 8 x->2 (x - 2)(3x + 4)10

Raíces de polinomios
Si el límite da indeterminado, aplicar el siguiente truco:
____ ____ P(x) - Q(x)
lim \|P(x) - \|Q(x) = lim ----------------
____ ____
\|P(x) + \|Q(x))
Se llama expresión conjugada de
__ __ __ __
\|a - \|b a \|a + \|b
Comentario:Multiplicando y dividiendo por la conjugada, obtenemos la diferencia de las cantidades sub radicales.

Indeterminación 0/0
Si se trata de un cociente de polinomios, aplicar Ruffini como se explicó antes.
Aplicar límites tipo.
Ejemplo:

L(1 + 5x) 5x 5
lim --------- = lim -- = --
x->0 2x | x->0 2x 2
|
IND. 0/0




Indeterminación 1infg(x) lim g(x)(f(x) - 1)
lim f(x) = e x->a
x->a
Ejemplo:
(IND. 1inf)
| x + 5
x + 2 | lim (x + 2)(----- - 1)
lim ((x + 5)/(x - 3)) = e x->+inf x - 3 =
x->+inf
8 8x
lim (x + 2)---- = lim -- = 8
e x->+inf x - 3 e x->+inf x...