derivadas

TEMA 4: DERIVADAS

´ n. Reglas de derivacio
´n
1. La derivada de una funcio
1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la
inclinaci´on de la curva en ese punto. Si Q es un punto cerca de P en la curva, entonces la pendiente
de la curva en P es aproximadamente igual a la pendiente del segmento de recta P Q. La pendiente
de la curva en P sedefine como el l´ımite de la pendiente de P Q cuando Q se aproxima a P a lo
largo de la curva.
Q

P

0

En s´ımbolos, la pendiente de la curva en P = limQ→P (pendiente de P Q).
Para encontrar la pendiente de la curva y = x2 en el punto P = (1, 1) escogemos un punto Q en
la curva cerca de P . Sea 1 + h con h peque˜
no, la coordenada en x del punto Q. La coordenada en
y del punto Q es (1 +h)2 . Calculamos
pendiente de P Q =

(1 + h)2 − 1
= 2 + h.
(1 + h) − 1

Cuando Q se aproxima a P , h tiende a 0. As´ı:
pendiente de la curva en (1, 1) = lim (2 + h) = 2.
h→0

Definici´
on 1.1. La derivada de la funci´on f en el punto c, denotada por f (c), es la pendiente de
la curva y = f (x) en el punto (c, f (c)), Esto es:
f (c) = lim

h→0

f (c + h) − f (c)
,
h

siempreque el l´ımite exista.
Diremos que f es derivable en el punto c si f (c) existe.
1

2

TEMA 4: DERIVADAS

Q

f (c + h) − f (c)
P
h

O

c

c+h

1.2. Tabla de derivadas de funciones elementales b´
asicas.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

(xα ) = αxα−1 (α es cualquier n´
umero real).
(ln x) = x1 .
(ax ) = ax ln a, en particular, (ex ) = ex .
(sen x) = cos x.(cos x) = − sen x.
1
(tan x) =
, (x = π2 + πn, n entero).
cos2 x
1
(arcsin x) = √
(−1 < x < 1).
1 − x2
1
(arccos x) = − √
(−1 < x < 1).
1 − x2
1
(arctan x) =
.
1 + x2

1.3. La recta tangente a una curva. La recta tangente a una curva en un punto se define como
la recta que pasa por el punto y cuya pendiente es igual a la pendiente de la curva en ese punto.
As´ı,
y − f (c) = f(c)(x − c)
es la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P = (c, f (c)).
Ejemplo 1.2.
(1) Encuentre la recta tangente a y =

√

x en (16, 4).

1
1
´ n: f (x) = x1/2 , f (x) = x−1/2 , f (16) = .
Solucio
2
8
1
1
Por lo que, y − 4 = (x − 16), o y = x + 2.
8
8
(2) Encuentre la recta tangente a y = |x| en (0, 0).
´ n: No existe recta tangente a y = |x| en (0,0), puesto que la funci´on f (x) = |x|
Solucio
no es derivable en x = 0. Para ver esto, note que el l´ımite
lim

h→0

|h|
f (0 + h) − f (0)
= lim
h→0 h
h

no existe (el l´ımite por la izquierda es −1 y el l´ımite por la derecha es 1).

TEMA 4: DERIVADAS

1.4. Derivadas laterales. Si existe el l´ımite
f (c + h) − f (c)
lim
h
h→0+

lim

h→0−

3

f (c + h) − f (c)
h,

entonces este l´ımite es llamado la derivada por la derecha (por la izquierda) de la funci´on f en el
punto c y es denotado por f (c+ ) (f (c− )).
Teorema 1.3. f (c) existe si y s´
olo si, ambas f (c+ ) y f (c− ) existen y son iguales. En este caso,
+
−
f (c) = f (c ) = f (c ).
Ejemplo 1.4. Es la funci´on f (x) =

x2 ,
xe−1/x ,

si x ≤ 0;
derivable en x = 0?
si x > 0.

´ n:S´ı, y f (0) = 0.
Solucio
f (0 + h) − f (0)
h2
= lim−
= 0;
h
h
h→0
h→0
f (0 + h) − f (0)
he−1/h
f (0+ ) = lim+
= lim+
= e−∞ = 0.
h
h
h→0
h→0
1.5. Continuidad y derivabilidad. La continuidad es una condici´on necesaria para la derivabilidad. En otras palabras, una funci´on discontinua en un punto no es derivable en ese punto.
f (0− ) = lim
−

Teorema 1.5. Sea f una funci´
onderivable en c. Entonces, f es continua en c.
Proof. Usando el hecho de que f es derivable en c, el l´ımite
f (c + h) − f (c)
f (c) = lim
h→0
h
existe. Queremos probar que f es continua en c, esto es, limh→0 f (c + h) = f (c) o, equivalentemente,
que limh→0 f (c + h) − f (c) = 0. Para obtener esto, consideremos lo siguiente:
h
f (c + h) − f (c)
f (c + h) − f (c) = lim h · lim
= 0 · f...