Desarrollo Ciduadacno

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
En el estudio del cambio de unafunción, es decir, cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta quepermite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumentose modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es elcálculo de las pendientes instantáneas de  en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

Otro
. Introducci´on
El concepto de l´ımite en Matem´aticas tiene el sentidode “lugar” hacia el que se dirige una funci´on
en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la gr´afica de la figura y fij´emonos en el
punto x =2 situado en el eje de abscisas:
¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos
valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´agenesde dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),
f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las
im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.
Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´alexpresamos
como:
l´ım
x→2
f(x)=3
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el
eje Oy al que se acerca la funci´on, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.
145CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 146
Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:
Definici´on: Dada unafunci´on f(x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f(x) cuando x se acerca
a a es L, y se expresa como:
l´ımx→a
f(x) = L
cuando:
Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x− a| < δ, entonces |f(x)− L| <
Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de
a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´oxima a L.
En la pr´actica en muchasocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como
recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´on:
Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´on f(x), y se expresa como:
l´ım
x→a+ f(x)
al l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´onf(x) se expresa como:
l´ım
x→a− f(x)
y se define como el l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Propiedad: Para que una funci´on f(x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan
ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:
l´ımx→a
f(x) = l´ım
x→a+ f(x) = l´ım
x→a− f(x)CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 147
9.2....