Desigualdades

Algunas Propiedades Importantes.
1. Sea a < b. a. Si n > 0, entonces na < nb,a/n < b/n,an < bn (si a, b > 0). b. Si n < 0, entonces na > nb,a/n > b/n,an > bn (si a, b > 0). 2. a. ab > 0  (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0) b. ab < 0  (a > 0 y b < 0) o (a < 0 y b > 0)

Resolviendo una Desigualdad
Resolver una desigualdad en una variable real significa encontrar (el conjunto) de todos losnúmeros reales que satisfacen la desigualdad dada. Algunos puntos que hay que tener en cuenta cuando se resuelve una desigualdad.. 1. Hacer uno de los lados de la desigualdad igual a cero. 2. Simplificar y factorizar cuando sea posible en factores lineales. 3. Para factores cuadráticos que no puedan o que sea difícil factorizar, completar el cuadrado.. 4. Encontrar todos los valores críticos en dondelos factores se anulan. 5. Utilizar la recta numérica o alguna gráfica para ayudarse a determinar la solución. 6. La solución debe ser expresada en la notación de intervalos o de conjuntos.

Notación de Intervalos y Notación de Conjuntos
Desigualdad Notación de Intervalo Notación de Conjuntos a 4.

El conjunto solución es {x  R : x < 2 o x > 4} Recta Numérica:
 x < 2 o x > 4.

El conjuntosolución es {x  R : x < 2 o x > 4}

Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de (2x  1)(x + 2) < x(4 + x). Solución:
2x2 + 3x  2 < 4x + x x2  x  2 < 0 (x + 1)(x  2) < 0  1 < x < 2.
2

El conjunto solución es

{x  R : 1 < x < 2}

2 No Factorizable

Ejemplo 3: Resolver x2  4x + 1 > 0. Solution:
Método 1: Completando el Cuadrado x2  4x + 1 = x2  4x + 4  3 = (x  2)2  3 (x 2)2  3 > 0 (x  2)2 > 3 |x  2| > 3 x  2 > 3 o x  2 < 3 x > 2 + 3 o x < 2  3 Método 2: Utilizar la fórmula para encontrar las raices de la ecuación asociada Las raíces de x2  4x + 1 = 0 son  4  16  4 x=  2 = 2  3  para x2  4x + 1 > 0, tenemos x > 2 + 3 o x < 2  3.

Ejemplo 4: Resolver x2 + 2x + 2 < 0. Solución:
Completando el cuadrado, (x + 1)2 + 1 < 0. Como (x+ 1)2 + 1 > 1 para todos los valores reales de x.

Por tanto no existen soluciones reales. El conjunto solución es  (el conjunto vacío).

Ejemplo 5: Resolver x2 + 2x + 2 > 0. Solución:
Completando el cuadrado, (x + 1)2 + 1 > 0. Como (x + 1)2 + 1 > 1 para todos los valores reales de x. Por tanto la desigualdad siempre es verdadera para todos los valores reales de x. El conjunto solución esR (el conjunto de todos los números reales).

Otras Desigualdades
Ejemplo 6: Hallar el conjunto solución de (x + 3)(x  1)(x  2)  0. Solución:  3  x  1 o x  2. El conjunto solución es {x  R : 3  x  1 o x  2}

Ejemplo 7: Resolver x2(x2  1)  0. Solución: Como x2  0  x2(x2  1)  0  x2  1  0 (x + 1)(x  1)  0  x1 o x1 (x + 2)(2x  5) Ejemplo 8: Resolver   0. x3Solución:

Como x  3.  2  x  5/2 o x > 3.

x+1 6 Ejemplo 9: Resolver   . x x1 Solución: x+1 6     0 x1 x x(x + 1)  6(x  1)   0  x(x  1) (x  2)(x  3)   0 x(x  1) Como x  0, 1.  0 < x < 1 o 2  x  3.

DESIGUALDADES Desigualdades Numéricas.

Definición y Propiedades de las Desigualdades Numéricas. El campo de los números reales posee la propiedad deorden, es decir tiene lugar la tricotomía de los números reales, a saber que para todo par a , b tiene lugar una y solo una de las tres relaciones siguientes: a>b,a b significa por definición que a - b es positivo, mientras que a < b significa por definición que a - b es negativo. En símbolos, por definición:

A diferencia del campo de los números reales el campo de los números complejos no esordenable. Para los números complejos los conceptos de "mayor que" y "menor que" no están definidos y por ello en este tema de desigualdades nos restringiremos a los números reales. Por definición a las relaciones a > b y a < b se les llama desigualdades, a los números a y b primero y segundo miembros (o partes) de la desigualdad y los símbolos > y < los signos de relación de orden. De la...