Determinantes

Determinante como volumen orientado
1. Definici´n (´rea orientada de un paralelogramo). Para cualesquiera vectores o a − → − − → a = OA, b = OB ∈ V2 (O) denotemos por A(a, b) al area del paralelogramo OACB ´ − → − − → − → − − → generado por los vectores OA y OB, con el signo + si el giro de OAa OB es en sentido − → − − → positivo (contra reloj) y con el signo − si el giro de OA a OB es en sentido negativo (sentido del reloj). 2.Proposici´n (propiedades del ´rea orientada). o a 1. A(a, b) = 0. 2. A(λa, b) = λA(a, b). 3. A(a, b + c) = A(a, b) + A(a, c). 4. A(a, λb) = λA(a, b). 5. A(a+ b, c) = A(a, c) + A(b, c). −→ −→ − − 6. Sea E = (e1 , e2 ) = (OE1 , OE2 ) una base ortonormal del espacio V 2 (O), es decir, −→ −→ −→ − − − −→ −OE1 ⊥ OE2 , |OE1 | = |OE2 | = 1. Entonces A(e1 , e2 ) = 1. 3. Expresi´n del ´rea orientada a trav´s del determinante. Sea E = (e1 , e2 ) = o a e −→−→ − − (OE1 , OE2 ) una base ortonormal del espacio V 2 (O). Entonces para cualesquiera vectores u, v ∈ V 2 (O)   | | A(a, b) = Det(aE , bE ) = det aE bE  . | | 4. Ejemplo. − → − → − − → OC = OA + OB − → OA
E

C A e2 O e1

=

1 2

, 1 3 2 1

− − → OB

E

=

3 1

B

− − → −→ A(OA, OB) =

= 1 − 6 = −5

5. Nota. De manera similar, el volumen orientado del paralelep´ ıpedo generado por algu3 nos vectores a, b, c ∈ V (O)es igual al determinante de la matriz formada los las columnas aE , bE , cE , donde E es una base ortonormal de V 3 (O). p´gina 1 de 1 a