Diapositivas de calculo del área de un polígono simple

sitivas Universidad Católica de Valencia San Vicente Mártir
Lección Inaugural: Curso 2009-2010
Cálculo del área de un polígono simple. Una demostración personal. polí demostració
P5 P3 P4

P6

P7

P2 P1

P8

Francisco Javier Arteaga Moreno

1

El problema P

6

P4

P3
P2

Calcular el área de un polígono simple a partir de sus vértices especificados en sentidoantihorario.

P5 P8

P7

P 1

2

Estructura de la lección
1. Problema inicial: posición relativa entre un punto y un polígono • 1ª solución: recorriendo el perímetro. • 2ª solución: lanzando un rayo. • 3ª solución: mirando alrededor. 2. Aproximación estocástica al área del polígono 3. Área de un polígono estrellado 4. Extensión a polígonos no estrellados 5. Un caso especial: la fórmula de Pick3

8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

4

Sentido antihorario
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Polígono
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 A 8 5 8 4 4 3 0 3 0 5 6 8 3 8 0 2 4

Punto
5

5

Enunciado del problema inicial
Polígono
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 A 8 5 8 4 4 3 0 3 0 5 6 8 3 8 0 2 4

Dado el polígono P, definido por el conjunto de sus vértices,especificados en el orden que resulta de recorrer el contorno en el sentido contrario al de las agujas del reloj: {P1, P2, …, P8} queremos saber si un punto A es interior o exterior al polígono P.

Punto
5

6

1ª Solución: recorriendo el perímetro

Si la 1ª distancia es mayor que la 2ª distancia el punto es exterior, en caso contrario el punto es interior.

7

2ª Solución: lanzando unrayo
Si el punto es exterior, al lanzar el rayo caben dos posibilidades: 1. El rayo no corta al polígono. 2. El rayo corta al polígono un nº par de veces (sale del polígono tantas veces como entra). Si el punto es interior, al lanzar el rayo, este cortará al polígono un nº impar de veces (empieza dentro del polígono y acaba fuera de él).

Conclusión: Si el rayo corta al polígono un número impar deveces el punto es interior, en caso contrario el punto es exterior.

8

3ª Solución: mirando alrededor
P3 P3 P2 P2

P4

P4 P1 P5 P5

P1

Si el punto es interior, al recorrer los vértices con la visual, damos una vuelta completa, es decir, 360º. Si el punto es exterior la suma acumulada de los ángulos supone andar y desandar un mismo recorrido, es decir, 0º.

9

3ª Soluciónaplicada al ejemplo
El punto: A = (5, 4) El polígono: P = {(8,0 )(5,5) (8,6) (4,8)(4,3)(3,8)(0 ,0 )(3, 2 )}
α1 = arcos
v1 , v 2 v1 × v 2

Cálculo del primer ángulo (desde P1 hasta P2)

v1 = AP = P1 − A = (8, 0 ) − (5, 4 ) = (3, − 4 ) 1 v 2 = AP2 = P2 − A = (5, 5) − (5, 4 ) = (0,1)
Realizamos el mismo cálculo para los 8 ángulos:

α1 = 143º 07' 48' '
α 4 = 120º 57' 50' ' α 8 = 081º 52' 12' 'α1 = 143º 07' 48' ' α 2 = −056º 18' 36' ' α 3 = 070º 20' 46' ' α 5 = −108º 26' 06' ' α 6 = 102º 05' 41' ' α 7 = 006º 20' 25' '

Sumando los 8 ángulos obtenemos un ángulo total acumulado de 360º. Conclusión: el punto A es interior al polígono P.

Disponemos de un método analítico (sin necesidad de ver la representación gráfica) para determinar la posición relativa de un punto A en relación aun polígono P.

10

Aproximación estocástica al área de un polígono
Construimos un cuadrado que contiene al polígono, con lo que el área del cuadrado, S, es una cota superior del área del polígono, S(P). Si colocamos un punto al azar dentro del cuadrado, la probabilidad de que dicho punto sea interior al polígono es:
p= S (P ) S

Si disparamos una gran cantidad de puntos al azar sobre elcuadrado, digamos N, y n es el número de dichos puntos que caen dentro del polígono, podemos aproximar S(P) mediante:
S (P ) ≅ n S N

11

Aproximación estocástica al área de un polígono
Para el ejemplo anterior del polígono con 8 vértices, lanzamos 20.000 puntos al azar sobre un cuadrado de área 100 que contiene al polígono. De los 20.000 puntos, 5.687 puntos son interiores al polígono,...