Diferenciacion e integracion

Este trabajo habla de la diferenciación e integración numérica y se muestran diversos métodos para la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana.
Se explican algunas técnicas de aproximación para la resolución de diferenciales como lo son la formula de diferencia progresiva y regresiva, la formula de tres puntos y la formula de cinco puntos, cada una detallada con ejemplossencillos para su fácil comprensión.
También se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Los métodos que se abordan son: método del trapecio, métodos de Simpson, integración de Romberg, métodode cuadratura gaussiana.
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1),..., (xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio no tiene porqué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver elproblema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas.
Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciación numérica es inestable. Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisición de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en elproceso de diferenciación como veremos a lo largo de este capítulo.
FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DE DOS PUNTOS
Recordemos que la definición de derivada implica el cálculo de un límite

Este proceso de paso al límite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones prácticas donde no se conozca la forma explícita de f′(x). En primer lugar un límite no puede calcularse de modoaproximado en un computador donde los números que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la función f(x) no se comporta mal y h0 es un número finito pero pequeño se cumpla:


Es más, la misma definición de la derivada implica que si f′(x) existe, entonces hay algún h0 a partir del cual nuestra aproximación dista menos de una cantidad δ del valor real para la derivada. El problema esque esto sólo es cierto con precisión infinita ya que h0 puede ser tan pequeño que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) − f(x) esté seriamente afectada por el error de redondeo. La ecuación (2.1) es la forma más sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona información sobre la precisión de esta aproximación:Teorema. Sea f(x) ∈ C1 (a, b) y existe f′′(x) en (a, b), entonces se cumple que:

DIFERENCIAS FINITAS.
Es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferenciasfinitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
El método de diferencias finitas es una clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará lacomprensión de los procedimientos de elementos finitos.
Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).
METODO DE EXPANSION DE TAYLOR.
Es una forma...