Diseño PID

Tarea 3
Control automático [ELO270]

Problema
Considere el esquema de lazo cerrado estudiado en clases y suponga que la planta posee la función de transferencia

G0 (s) =

3
(s + 1)(s + 4)

Suponga, además, que la referencia y las perturbaciones de salida son secuencias de escalones (i.e., constantes
por tramos con cambios esporádicos) y que las perturbaciones de entrada sonsinusoides de frecuencia

2[Rad/s].

(No

existe ruido de medición).
1. Use la tabla de Ziegler-Nichols para ajustar un controlador PID usando el método de la respuesta a escalón.
2. Use la tabla de Ziegler-Nichols para ajustar un controlador PID usando el método de la oscilación.
3. Use el método de asignación de polos para ajustar un controlador PID que permita seguir aproximadamente
a lareferencia. Itere de ser necesario.
4. Use el método de asignación de polos para ajustar un controlador que permita seguir exactamente a la
referencia. Itere de ser necesario.
5. Use

M atlab

o

Simulink

para comprobar el desempeño alcanzado con cada una de sus propuestas.

1

Resolución
1. Para poder llevar a cabo este método es necesario aplicar un escalón con determinada magnitudy respecto a
la respuesta del lazo a dicha excitación calcular las constantes asociadas al modelo.
Se aplica este escalón mediante

M atlab

con el comando

step()

sobre

G0 (s)

y luego se traza, de forma aproxi-

mada la asíntota, como se muestra a continuación:

Figura 1: Respuesta de

G0 (s)

a escalón unitario.

Luego, se realizan estimaciones correspondientes:

a )τ0 :

tiempo en que se aplica el escalón

b ) τ1 :

tiempo en que

z

intersecta a

y(0) = 0,306[s]

c ) τ2 :

tiempo en que

z

intersecta a

y(∞) = 1,68[s]

= 0[s]

y se calcula:

a ) K0 =

y(∞)−y(0)
u(∞)−u(0)

=

0,747−0
1−0

= 0,747

b ) T0 = τ1 − τ0 = 0,306
c ) V0 = τ2 − τ1 = 1,374
Con estos datos, se genera la siguiente tabla:

P
PI
P ID

Kp6,011
5,409
7,213

Figura 2: Respuesta de

Finalmente, se sabe que

Tr

Td

-

-

0,918
0,612

0,153

G0 (s)

-

a escalón unitario.

τd = 0,1∗Td = 0,0153. A continuación se muestra el controlador que puede sintetizarse

en base a los datos obtenidos:

C(s) = Kp (1 +

1
Td s
1
0,153s
+
) = 7,213(1 +
+
)
Tr s (τd s + 1)
0,612s (0,0153s + 1)

2

2. Parapoder aplicar este método es imperioso encontrar un
respuesta presente oscilaciones sostenidas, además

Kp

Kp

tal que

Antes de realizar el método es conveniente entonces buscar si

tal que, al multiplicarse por la planta

0 ≤ Kp
Kp

G0 (s)

la

1.

existe o no. Dado que para poder aplicar el

método es necesario que el lazo oscile, basta con revisar si esta constanteproduce polos conjugados sin parte
real (±jw ).
Dado que se supone

C(s) = Kp , Acl

se encuentra dado por:

Acl = (s + 1)(s + 4) + 3Kp = s2 + 5s + (3Kp + 4)
Como puede verse de

Acl ,

no existe

Kp

que produzca oscilaciones (dado que siempre existirá un factor  bs).

Por lo tanto el modelo es desechado.
3. Se sabe que la planta esta dada por

G0 (s) =

3
(s+1)(s+4)

=B
A y el controlador PID por

C(s) =

P
¯.
L f ∗L

Además, tanto la referencia como las perturbaciones de salida están dadas por secuencias de escalones constantes, las perturbaciones de entrada corresponden a sinusoides de frecuencia

2[Rad/s].

En base a esto pueden indicarse los siguientes requerimientos:

a ) To (0) = 1,

para asegurar seguimiento a las frecuencias de lareferencia y las perturbaciones de salida.

Entonces, solo basta forzar el integrador en

C(s)

tal que:

P
¯
s∗L

C(s) =
Luego, con conocimiento de

Lf = s

se podrá determinar el grado del

Acl

que se necesita:

gr(Acl ) = 2gr(A) − 1 + grel(C(s)) + gr(Lf )

gr(Acl ) = 4 − 1 + 0 + 1 = 4
Por lo tanto se plantea un
y por lo tanto

Acl

Acl de orden 4 (nótese que no...