Distribución gamma

Distribución Gamma
The Lone Sal Bug. Versión en español.

The Lone Sal Bug.

1.1

Distribución Gamma.

Una de las distribuciones más usadas en probabilidad es la distribución Gamma Entre los muchos usos de esta distribución se tiene el siguiente: supóngase que una pieza metálica se encuentra sometida a cierta fuerza, de manera que se rompa después de aplicar un número específico deciclos de fuerza. Si los ciclos ocurren de manera in dependiente y a una frecuencia promedio, entonces el tiempo que debe transcurrir antes de que el material es una variable aleatoria que cumple con la distribución gama. Definición: Se dice que la función gamma esta dada por:

(1.1) Con base a esto busquemos su función de densidad de probabilidad. Para hacerlo, considérese un cambio de variable deintegración, tal que , y ; entonces;

dado que

.

Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma si su función de densidad de probabilidad esta dada por: (1.2)

Donde es la función Gamma. La distribución gamma es muy versátil puesto que exhibe varios perfiles que dependen del valor del parámetro α. En la figura 1.1.1 se ilustran los siguientes perfiles de la función gamma paradistintos valores de α y θ.

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Figura 1.1.1; Graficas dela función gamma para distintos valores de α y θ.

Como puede observarse, para α , la distribución tiene un perfil de la forma J transpuesta. Para α , presenta un pico que ocurre en . Para un valor fijo de , el perfil básico de la distribución no se altera si el valor de α no cambia. Lo anterior da como resultadoque las cantidades de α y son factores de forma y de escala, respectivamente, de la distribución gamma. Esta distribución se emplea de manera extensa en una gran diversidad de áreas; por ejemplo, para representar el tiempo aleatorio de la falla de un sistema que falla solo si de manera exacta los componentes fallan y la falla de cada componente ocurre a una frecuencia constante λ = 1/θ por unidadde tiempo. También se emplea en problemas de líneas de espera para representar el intervalo total para complementar una reparación si esta se lleva a cabo por subestaciones; complementar la reparación en cada subestación es un evento independiente que ocurre a una frecuencia constante o igual a λ = 1/θ. Existen algunos ejemplos que no siguen el patrón anterior, pero que se aproximan de maneraadecuada mediante el empleo de la distribución gamma, como los ingresos familiares y la edad del hombre al contraer matrimonio por “primera vez”. Con un procedimiento similar al que se hiso para hallar (1.2) se demuestra que el r-ésimo momento alrededor del cero es:

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si hacemos u=x/θ

(1.3) Donde µ el la media. Calculemos ahora la varianza. Tenemos que:

Si tomamos elmismo cambio de variable anterior (u=x/θ), se tiene:

Dado que

. Por consiguiente,

por lo tanto: (1.4) y (1.5) Además, después de obtener los momentos centrales apropiados, se puede demostrar que el coeficiente de asimetría es:

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(1.6) y la curtosis relativa está dada por:

(1.7) Nótese que a partir de los factores de forma y , la distribución gamma tiene unsesgo positivo y más picos que la distribución normal, puesto que para cualquier . Sin embargo, también debe notarse que conforme el parámetro se hace cada vez más grande, su sesgo se convierte en menos pronunciado y la curtosis relativa tiene el tres como valor limite. De hecho, para valores grandes de la distribución gamma puede aproximarse, en algún grado, por una distribución normal. Esto es, lavariable aleatoria

(1.8) es, de manera aproximada, igual a la normal estándar para valores grandes de . La función generadora de momentos para la variable aleatoria gamma X esta dada por:

Sea

,

y

. Entonces:

(1.9) La función de distribución acumulativa se determina por la siguiente expresión:

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The Lone Sal Bug. (1.10) Se tabularon muchas versiones de (1.10). Por...