Distribucion binomial

Distribuição Binomial, Binomial Negativa e Geométrica.
Anibal Braga Jorge Neto RA: 353337
Fabiano Martins Tasso RA: 353604
Gabriel Gonçalves Bizzarro RA: 353370
Rodrigo Xavier Britez RA: 366315

Introdução

Neste trabalho serão estudadas as distribuições binomial, binomial negativa e geométrica. A binomial é baseada na distribuição de Bernoulli, que foi desenvolvida porJakob Bernoulli (1654-1706) e diz que um experimento aleatório possui apenas dois possíveis resultados: o sucesso e o fracasso. A distribuição binomial é uma distribuição discreta que resulta da soma de variáveis aleatórias binárias (VIEIRA, 1980) e descreve uma sucessão de experimentos independentes. Variável aleatória binária é aquela que só assume um de dois valores possíveis, ou seja, sucesso (aqual podemos convencionar de valor 1) ou fracasso (valor 0) (VIEIRA, 1980), que nada mais é do que a tentativa de Bernoulli. O nome dessa distribuição é obtido da expansão binomial. Para as constantes a e b, a expansão binomial é:
a+bn=k=0nnkakbn-k (1)
Seja p a probabilidade de sucesso de uma única tentativa, então,usando a expansão binomial com a = p e b = 1 – p, vemos que as somas das probabilidades para uma variável aleatória binomial é igual a 1. Além disso, pelo fato de cada tentativa no experimento ser classificada em dois resultados, {sucesso, falha}, a distribuição é chamado de “bi”-nomial. É interessante dizer que essa distribuição e a distribuição binomial negativa, de acordo com Perecin & Barbosa,citados por SACONATO (2005), são bastante utilizadas para estudar a disposição espacial dos insetos e de parasitas.
A distribuição binomial negativa, também conhecida como distribuição de Pascal ou distribuição de Pólya, nada mais é do que uma variante da distribuição supracitada, possuindo os mesmos parâmetros e condições, diferenciando-se apenas no que se deseja calcular: enquanto que nabinomial o objetivo é calcular a probabilidade de um dado número de sucessos, na binomial negativa pretende-se calcular a probabilidade de certo número de tentativas necessárias para se obter uma quantidade de sucessos, sendo a última tentativa um sucesso.
Já a distribuição geométrica é um caso particular da binomial negativa, onde se pretende calcular a probabilidade de apenas um sucesso ocorrerem certo número de tentativas.

Desenvolvimento

Função de Probabilidade
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidades que surge ao satisfazer as cinco seguintes condições:
1. Existe n tentativas de Bernoulli;
2. Em cada tentativa há apenas dois possíveis resultados;
3. Em cada tentativa, os dois possíveis resultados são mutuamente excludentes;
4. Osresultados de cada repetição são independentes;
5. A probabilidade de cada possível resultado em todas as tentativas de Bernoulli é a mesma.
Quando essas condições são satisfeitas, a distribuição binomial pode ser utilizada para determinar a probabilidade de obter x sucessos para n repetições.
De modo geral, se X é uma variável aleatória discreta que tem distribuição binomial, então a sua funçãode probabilidade é dada pela equação (2):
Px=nxpx1-pn-x (2)
Onde: Px = a probabilidade de X sucessos dados os parâmetros n e p;
n = tamanho da amostra;
p = a probabilidade do sucesso;
1-p = a probabilidade do fracasso;
X = número de sucessos na amostra (X = 0, 1, 2, ..., n).
Portanto, dizemos que X ~ BIN (n, p).
O termo px1-pn-x indica a probabilidade de obter Xsucessos de n observações em uma seqüência específica. Já o termo nx indica quantas combinações dos X sucessos entre as n observações são possíveis. Então, dados o n número de observações e a p probabilidade de sucesso, a probabilidade de X sucessos é:
Px = (número de seqüências possíveis) * (a probabilidade de uma seqüência especifica).
Mediante isto, chegamos à função (1), que representa esta...