Distribucion t de student

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UNIVERSIDAD MEXIQUENSE DEL BICENTENARIO

MADRID MORAN DANIEL IGNACIO

3302

ESTADISTICA

“T STUDENT”

INTRODUCCION

EN ESTA PEQUEÑA INVESTIGACIÓN VEREMOS LA FINALIDAD QUE TUVO WILLIAM SEALY GOSSEL AL INVENTAR LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT LA CUAL CONSTABA EN PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA POR MEDIO LA CUAL TOMABAN POBLACIONES PEQUEÑAS.

MOSTRAREMOS VARIAS FORMULAS POR LAS CUALESOBTENDREMOS NEUSTRA METODOLOGIA Y APLICACIONES PARA PODER DESARROLLAR UNA PROBABILIDAD CON VALORES OBTENIDOS.

HISTORIA
Historia
La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gossetpublicase sus resultados bajo el seudónimo de Student.[]


CONCEPTO

Distribución t de Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Studentpara la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

METODOLOGIA Y APLICACIONES
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria quesigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

La media muestral. Entonces

Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándarno siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

Donde

Es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

Donde es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de, pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student
El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media, siendo entonces el intervalo de confianza para la media .
Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que ladiferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.
Para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son:
E(t(n))= 0 y Var (t(n-1)) = n/(n-2) para n > 3


Distribución t deStudent
La Distribución t de Student, tiene por función de densidad:

Donde el parámetro n de, se denomina grados de libertad de la distribución.
La distribución t de Student existe para todos los valores de x reales, y es simétrica respecto al eje y.
La distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, que representamos por

Dónde:

Para el cálculo de estaintegral existen distintos tipos de Tabla de distribución t de Student, en la que para distintos valores de n y de x se puede buscar su probabilidad acumulada p, veamos una de esas tablas

La tabla
En esta tabla hay dos entradas, en la fila superior están los valores de n para los que se ha calculado la probabilidad, en la columna de la izquierda los de x, para x igual o mayor que cero, en...
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