distribuciones discretas

Distribución de función de variables aleatorias.

Estadística I

1

I.- Distribución de función de variables
aleatorias (Teoría de la distribución)

1.1 Introducción.
En este capítulo se tratará el estudio defunciones de variables aleatorias, en
forma general podemos decir que para X1, X2, …, Xn variables aleatorias, estaremos
interesados en conocer la distribución conjunta deY1=h1(X1, X2, …, Xn), Y2=h2(X1, X2,
…, Xn), …, Yk=hk(X1, X2, …, Xn). La distribución de Y1, Y2, …, Yk, satisface:

FY1Y2 …Yk (y1 , y 2 ,K , y k ) =P(Y1≤ y1, Y2≤ y2,…, Yk≤ yk)
= P(h1(X1, X2, …, Xn)≤ y1, h2(X1, X2, …, Xn)≤ y2,…, hk(X1, X2, …, Xn)≤ yk)
El cálculo de la anterior probabilidad al depender de la Xi’s, se reduciría a
integrar o sumar la densidad conjunta sobre la región que determina estasnuevas
variables, pero en muchas ocasiones será de mucha utilidad saber explícitamente la
distribución conjunta de estas nuevas variables, como lo es en el uso de la inferencia
estadística.

1.2 Técnica de la función de distribución acumulativa.
Para X1, X2, …, Xn varaibales aleatorias, definimos las siguientes variables de la
siguiente forma, Y1=h1(X1, X2, …, Xn), Y2=h2(X1, X2, …, Xn), …,Yk=hk(X1, X2, …,
Xn). La distribución de Y1, Y2, …, Yk, satisface:

FY1Y2 …Yk (y1 , y 2 ,K , y k ) =P(Y1≤ y1, Y2≤ y2,…, Yk≤ yk)
= P(h1(X1, X2, …, Xn)≤ y1, h2(X1, X2, …, Xn)≤ y2,…, hk(X1, X2, …, Xn)≤ yk)

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Distribución de función de variables aleatorias

Mahil H.

Es decir, los eventos { Y1≤ y1, Y2≤ y2,…, Yk≤ yk } y {h1(X1, X2, …, Xn)≤ y1, h2(X1, X2,
…, Xn)≤ y2,…, hk(X1, X2, …,Xn)≤ yk} son iguales, si conocemos la distribución
conjunta de X1, X2, …, Xn, podemos calcular la probabilidad del evento {h1(X1, X2, …,
Xn)≤ y1, h2(X1, X2, …, Xn)≤ y2,…, hk(X1, X2, …, Xn)≤ yk} y por tanto también podemos
calcular FY1Y2 …Yk (y1 , y 2 ,K , yk ) .A esta forma de obtener la distribución conjunta de Y1,
Y2, …, Yk , se le denomina técnica de la función de distribución acumulativa.Veamos unos ejemplos para ver como se aplica dicha técnica.
Ejemplo 1.1. Sea X ∼ N(0,1), y Y= h(X) = X2. Apliquemos la técnica de la función de
distribución acumulativa, para encontrar la distribución de Y.
FY(y) = P(Y ≤ y)
= P(X2 ≤ y)

(

= P( − y ≤ X ≤
y

1
1 − 2u2
e
du
2π

∫

=2

0

2
2π

=
y

=

y

1
1 − 2z
e dz
∫ 2u
0

∫

1
e −z dz
2π z

∫

1
−1
z2 e −z dz
1
2Γ ( 2 )

0
y

=

)

y )

0

La anterior es la distribución de una χ(21) .

Ejemplo 1.5.2. Sea X1, X2, …, Xn variables aleatorias independientes sea;
Y(n)= h(X1, X2, …, Xn) = max(X1, X2, …, Xn).
Busquemos la distribución de Y(n) , primero veamos que el evento { max(X1, X2, …,
Xn) ≤ y} es equivalente a { X1≤ y, X2 ≤ y, …, Xn ≤ y} luego entonces,

Distribución defunción de variables aleatorias.

(

FY(n ) ( y ) = P Y(n ) ≤ y

Estadística I

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)

= P ( X 1 ≤ y, X 2 ≤ y,K , X n ≤ y )

Por ser independientes
= P ( X 1 ≤ y ) P ( X 2 ≤ y )L P ( X n ≤ y )
n

=

∏F ( y)
i =1

Xi

Si además de independientes asumimos que tienen la misma distribución, tendríamos
entonces que

FY(n ) ( y ) = ( FX ( y ) ) .
n

Para el caso de que lasXi’s sean variables continuas encontramos que

f Y(n ) ( y ) = n ( FX ( y ) )

n −1

fX ( y)

Ejemplo 1.3. Ahora busquemos la distribución de Y(1) = min(X1, X2, …, Xn), los
eventos { min(X1, X2, …, Xn)> y} es equivalente a { X1 > y, X2 > y, …, Xn > y} luego

(

FY(1) ( y ) = 1 − P Y(n ) > y

)

= 1 − P ( X 1 > y, X 2 > y,K , X n > y )

Por ser independientes
= 1 −  ( 1 − P ( X1 ≤ y ) ) ( 1 − P ( X 2 ≤ y ) )L ( 1 − P ( X n ≤ y ) ) 


n

(

= 1 − ∏ 1-FX i ( y )
i =1

)

Si además de independientes asumimos que tienen la misma distribución, tendríamos
entonces que

FY(1) ( y ) = 1 − (1 − FX ( y ) ) .
n

Para el caso de que las Xi’s sean variables continuas encontramos que

f Y(1) ( y ) = n (1 − FX ( y ) )

n −1

fX ( y)

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Distribución...