Distribución normal multivariante

Distribución normal multivariante
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
Normal multivariante |
Función de distribución de probabilidad |
Parámetros | (vector real)
Σ matriz de covarianza (matriz real definida positiva de dimensión ) |
Dominio | |
Función de densidad (pdf) |
|
Función de distribución (cdf) | Sin expresión analítica |
Media | |Mediana | |
Moda | |
Varianza | |
Coeficiente de simetría | 0 |
Curtosis | 0 |
Entropía | |
Función generadora de momentos (mgf) | |
Función característica | |
En probabilidad y estadística, una distribución normal multivariante, también llamada distribución gaussiana multivariante, es una generalización de la distribución normal unidimensional a dimensiones superiores.Contenido[ocultar] * 1 Caso general * 1.1 Función de distribución * 1.2 Un contraejemplo * 1.3 Normalmente distribuidas e independencia * 2 Caso bivariante * 3 Transformación afín * 4 Interpretación geométrica * 5 Correlaciones e independencia * 6 Momentos más altos * 7 Distribuciones condicionales * 7.1 Esperanza condicional bivariante * 8 Matriz de información deFisher * 9 Divergencia de Kullback-Leibler * 10 Estimación de parámetros * 11 Entropía * 12 Tests de normalidad multivariante * 13 Dibujando valores de la distribución * 14 Referencias |
[editar] Caso general
Un vector aleatorio sigue una distribución normal multivariante si satisface las siguientes condiciones equivalentes:
* Toda combinación lineal está normalmentedistribuida.
* Hay un vector aleatorio , cuyas componentes son independientes son variables aleatorias distribuidas según la normal estándar, un vector y una matriz tal que .
* Hay un vector μ y una matriz semidefinida positiva simétrica tal que la función característica de X es

Si es una matriz no singular, entonces la distribución puede describirse por la siguiente función de densidad:

dondees el determinante de . Nótese como la ecuación de arriba se reduce a la distribución normal si es un escalar (es decir, una matriz 1x1).
El vector μ en estas circunstancias es la esperanza de X y la matriz es la matriz de covarianza de las componentes Xi.
Es importante comprender que la matriz de covarianza debe ser singular (aunque no esté así descrita por la fórmula de arriba, para la cualestá definida).
Este caso aparece con frecuencia en estadística; por ejemplo, en la distribución del vector de residuos en problemas ordinarios de regresión lineal. Nótese también que los Xi son en general no independientes; pueden verse como el resultado de aplicar la transformación lineal A a una colección de variables normales Z.
Esta distribución de un vector aleatorio X que sigue unadistribución normal multivariante puede ser descrita con la siguiente notación:

o hacer explícito que X es n-dimensional,

Función de distribución
La función de distribución F(x) se define como la probabilidad de que todos los valores de un vector aleatorio X sean menores o iguales que los valores correspondientes de un vector x. Aunque F no tenga una fórmula, hay una serie de algoritmos quepermiten estimarla numéricamente.[1]
[editar] Un contraejemplo
El hecho de que dos variables aleatorias X e Y sigan una distribución normal, cada una, no implica que el par (X, Y) siga una distribución normal conjunta. Un ejemplo simple se da cuando Y = X si |X| > 1 e Y = −X si |X| < 1. Esto también es cierto para más de dos variables aleatorias.[2]
[editar] Normalmente distribuidas eindependencia
Si X e Y están normalmente distribuidas y son independientes, su distribución conjunta también está normalmente distribuida, es decir, el par (X, Y) debe tener una distribución normal bivariante. En cualquier caso, un par de variables aleatorias normalmente distribuidas no tienen por qué ser independientes al ser consideradas de forma conjunta.
[editar] Caso bivariante
En el caso...