Distrubucion De Probabilidad De Variable Aleatoria Continua

Tema 4.11 Covarianza, coeficiente de correlacion y varianza de adicio d V.A.C conjuntos






1. Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (y) que circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h , puede ponerse en función del número de accidentes (x) que ocurren en ella. Durante 5 días obtuvo los siguientes resultados:

Accidentes xi 5 7 2 1 9
Vehículos yi15 18 10 8 20


a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que circulaban por la autopista a más de 120 km / h?
c) ¿Es buena la predicción?



fi xi yi xi2 yi2 xi • yi
1 5 15 25 225 75
1 7 18 49 324 126
1 2 10 4 100 20
1 1 8 1 64 8
1 9 20 81 400 180
∑ 5 24 71 160 1113 409



Ejemplo paracalcular una recta de regresión


2. Las calificaciones de 40 alumnos en psicología evolutiva y en estadística han sido las de la tabla adjunta.
Psicología xi 3 4 5 6 6 7 7 8 10
Estadística yi 2 5 5 6 7 6 7 9 10
Nº de alumnos fi 4 6 12 4 5 4 2 1 2

a) Obtener la ecuación de la recta de regresión de calificaciones de estadística respecto de las calificaciones de psicología.
b) ¿Cuál será lanota esperada en estadística para un alumno que obtuvo un 4,5 en psicología?

Construimos una tabla con las columnas necesarias

fi xi yi fi•xi fi•yi fi•xi2 fi•yi2 fi•xi•yi
4 3 2 12 8 36 16 24
6 4 5 24 30 96 150 120
12 5 5 60 60 300 300 300
4 6 6 24 24 144 144 144
5 6 7 30 35 180 245 210
4 7 6 28 24 196 144 168
2 7 7 14 14 98 98 98
1 8 9 8 9 64 81 72
2 10 10 20 20 200 200200
∑ 40 220 224 1314 1378 1336






3. Las notas obtenidas por 10 alumnos en Matemáticas y en Música son:
Matemáticas xi 6 4 8 5 3,5 7 5 10 5 4
Música yi 2 5 5 6 7 6 7 9 10 10


• Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.
• ¿Existe correlación entre las dos variables?
• ¿Cuál será la nota esperada en Música para un alumno que hubiese obtenido un 8,3 enMatemáticas?


Solución


a) Covarianza = 3,075. Coeficiente de correlación r = 0,92.
b) Existe una correlación positiva fuerte.
c) Recta de regresión: y = 1,6 + 0,817 x La nota esperada en Música = 8, 38


4. Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan respectivamente 14, 20, 30, 42 y 44 kg . Halla la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso. ¿Cuál sería el pesoaproximado de una niña de 6 años?


Solución


Ecuación de la recta de regresión: x = 0,192 y - 0,76
Peso aproximado de una niña de 6 años: 35,2 kg

funciones de variable aleatorias
1. Lanzadas cuatro monedas, consideremos el número de cruces obtenidas. Calcular, de la variable
aleatoria así definida :
a) Ley de probabilidad
b) Función de distribución
c) Esperanza matemática y varianza
d)Mediana y moda de la distribución
CCCC Se obtienen 0 cruces
CCC+ CC+C C+CC +CCC Se obtienen 3 caras y 1 cruz
CC++ C+C+ C++C +CC+ +C+C ++CC Se obtienen 2 caras y 2 cruces
C+++ +C++ ++C+ +++C Se obtienen 1 cara y 3 cruces
++++ Se obtienen 4 cruces
Ley de probabilidad o función de densidad :
X 0 1 2 3 4
f(x)=Pr(X=x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
Función de distribución :
X 01 2 3 4
f(x)=Pr(X=x
Para el cálculo de la esperanza matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta, se aconseja construir la
siguiente tabla auxiliar :

X 0 1 2 3 4 Totales
P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/161
α1 P.X 0 4/16 12/16 12/16 4/16 32/16 = 2
α2 P.X2 0 4/16 24/16 36/16 16/16 80/16 = 5

De aquí : E(X) = α1 = 2 V(X) = α2 - α1
2 = 5 - 4 = 1
Definida la desviación típica como la raíz cuadrada de la varianza : D(X) = 1
Observando la ley de...