Divergenica teorema

El teorema de la divergencia de Gauss
Jorge Hidalgo Aguilera y Mikael Rodr´ ıguez Chala 12 de marzo de 2007

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Licencia
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Resumen En las siguientes p´ginas se desarrolla la demostraci´n del teorema de Gauss o de la a o divergencia para subconjuntos adecuados de Rn , y se extiende este a conjuntos m´s generales a por unm´todo de corta-pega. e

1.

Definiciones

Definici´n 1.1. Sea x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ), Ω ⊂ Rn , Ω = {(x, xn ) ∈ Rn : φ1 (x) ≤ xn ≤ φ2 (x)}, o donde φ1 , φ2 son aplicaciones de A ⊂ Rn−1 −→ R de clase C 1 (A). As´ pues, la frontera ∂Ω de Ω queda descrita como ı ∂Ω = K1 ∪ K2 ∪ K3 , donde

K1 = {(x, φ1 (x)) ∈ A × R} , K2 = {(x, φ2 (x)) ∈ A × R} , K3 = {(x, xn ) ∈ ∂A × R : φ1 (x) ≤ xn ≤ φ2 (x)}.

Qued´monos con los conjuntos Ω que tambi´n pueden escribirse como e e Ω = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : ϕ1 (x2 , x3 , ..., xn ) ≤ x1 ≤ ϕ2 (x2 , x3 , ..., xn )} = = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : ψ1 (x1 , x3 , ..., xn ) ≤ x2 ≤ ψ2 (x1 , x3 , ..., xn )} = ...

Observaci´n 1.2. Esto ultimo significa que cada una de las coordenadas de los puntos de Ω o ´ est´ acotada por dos hipersuperficies. a Porotra parte, se verifica que el vector normal en cada punto de ∂Ω viene determinado por  ∂φ1 ∂φ1 ∂φ1   , , ..., , −1 si (x, xn ) ∈ K1    ∂x1 ∂x2 ∂xn−1     η −∂φ2 −∂φ2 −∂φ2 , η= η= , , ..., ,1 si (x, xn ) ∈ K2  ||η||   ∂x1 ∂x2 ∂xn−1       (a1 , a2 , ..., an−1 , 0) si (x, xn ) ∈ K3 pues, para una superficie regular de este tipo, el normal viene dado por (xn − φi (x)) para (x, xn ) ∈Ki , con el signo convenientemente elegido para que sea exterior. En K3 se obtiene un normal de la forma descrita debido a su car´cter de superficie vertical. a Obviamente, en K1 y K2 , ||η|| = | φi |2 + 1.

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2.

Teorema
− → < F , η > dS =
∂Ω Ω

− → → − Teorema 2.1. Sea F : Ω −→ Rn , F ∈ C 1 (Ω). Se verifica que − → · F dV (1)

3.

Demostraci´n o
− → < F , η > dS =
∂Ω n n

Fk ηkdS =
k=1 ∂Ω k=1 K1

Fk ηk dS +
K2

Fk ηk dS +
K3

Fk ηk dS

Si se cumple que ∀k = 1, 2, ...n Fk ηk dS =
∂Ω Ω

∂Fk , ∂xk

entonces el teorema queda demostrado. Vamos a demostrarlo para k = n: Fn ηn dS =
∂Ω K1

Fn ηn dS +
K2

Fn ηn dS +
K3

Fn ηn dS

Dado que ηn = 0 cuando x ∈ K3 , el tercer t´rmino es id´nticamente nulo. e e As´ pues, ı Fn ηn dS =
∂Ω K1

Fn ηn dS +K2

Fn ηn dS = Fn (x, φ1 (x)) | φ1 |2 + 1 dx1 dx2 ...dxn−1 =

=−
A

Fn (x, φ1 (x)) | φ1 + 1 = |2

| φ1 |2 + 1 dx1 dx2 ...dxn−1 +
A

| φ 1 |2 + 1

{Fn (x, φ2 (x)) − Fn (x, φ1 (x))} dx1 dx2 ...dxn−1 .
A

Por otra parte, ∂Fn dx1 dx2 ...dxn = ∂xn
φ2 (x) A φ1 (x)

Ω

∂Fn dxn ∂xn

dx1 dx2 ...dxn−1 =

{Fn (x, φ2 (x)) − Fn (x, φ1 (x))} dx1 dx2 ...dxn−1 .
A

Por tanto, laigualdad queda demostrada para k = n. El resto de las integrales se resuelven de forma an´loga teniendo en cuenta la observaci´n a o 1.2.

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4.

Extensi´n a dominios m´s generales o a

Existe una minor´ de conjuntos que se pueda describir como Ω1 . Sin embargo, la validez ıa del teorema sigue siendo cierta para conjuntos m´s generales. Para ilustrar esta cuesti´n, a o consid´rese el...