divisibilidad de expresiones decimales

Divisibilidad y expresiones decimales de números racionales.

Las reglas de divisibilidad se dividen en tres grupos:
1. Reglas de terminación.
2. Reglas tipo nueve.
3. Reglas mixtas.

1. Un número es divisible por 10 cuando acaba en cero. (Hagamos la observación de que en cualquier sistema de numeración posicional multiplicar por 10 es añadir un cero a la derecha)
Un número es divisiblepor 2 cuando su última cifra es múltiplo de 2.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
Un número es divisible por 22. 53 si sus tres últimas cifras forman un múltiplo de él.

Todas estas reglas se basan en la separación del número dado como suma de uno acabado en los ceros necesarios para que sea múltiplo del fijado de antemano y de laterminación correspondiente.
456248 = 45000 + 248 . Al primer sumando no es necesario preguntarle si es múltiplo de 22. 53 porque le estamos viendo sus tres ceros y por tanto sus tres cincos y sus tres doses. La pregunta pues recae exclusivamente en 248. Las reglas de terminación están pues restringidas a los números compuestos factorialmente sólo por doses y/o cincos.

2. Reglas del 9, del 99,del 999, …
456248 puede ser escrito como 4.100000 + 5. 10000 + 6. 1000 + 2. 100 + 4.10 + 8 y
reescrito como (4. 99999 + 5. 9999 + 6. 999 + 2. 99 + 4. 9) + (4 + 5 + 6 + 2 + 4+ 8).
La pregunta de si es múltiplo de nueve sólo se la haremos al segundo paquete, ya que
el primero visualmente lo es. A la vez tendremos la misma regla para los divisores de
9(en este caso el 3).
Análogamente, para la cuestión de si es múltiplo de 99, lo escribiremos en la forma
45.10000 + 62. 100 + 48 y finalmente como (45. 9999 + 62. 99 ) + (45 + 62 + 48).
Así la pregunta recaerá sobre el segundo paquete.
Así también un número será divisible por 999 cuando sumadas sus cifras en paquetes
de tres en tres (empezando por la derecha) la sumasea múltiplo de 9.

Estas reglas arrastran a los divisores de esos números, Así un número será divisible por 11 cuando sumadas sus cifras en paquetes de dos, desde la derecha, la suma sea múltiplo de 11, y un número será múltiplo de 37 cuando sumadas sus cifras en paquetes de tres la suma sea múltiplo de 37.
[La conocida regla de divisibilidad por 11 es una adaptación particular de estastécnicas de reescritura de un número aprovechando el parecido de 11 con 10 (en cualquier base 10 + 1 =11) y la “visualidad” de algunos múltiplos de 11.
Divisibilidad por 11, 101, 1001, …
456248 = (4. 100001 + 5. 9999 + 6. 1001 + 2. 99 + 4. 11) + (- 4 + 5 – 6 + 2 – 4 + 8)
456248 = (45. 9999 + 62. 101 + 48) + (45 – 62 + 48)
(Observemos que 1000001 sería múltiplo de 101: 1000001 = 999900 + 101 ; yque 99999999 (ocho nueves) también: 99999999 = 99990000 + 9999 )
456248 = (456. 1001) + ( - 456 + 248)]
Nuestra intención es (más adelante) razonar que cualquier número primo con 10 tiene un múltiplo formado exclusivamente por nueves, con lo cual tendrá en primera instancia una regla de divisibilidad de tipo 9, que luego si interesa puede ser particularizada.
2. Las reglas mixtas (determinación y de tipo 9) se usarán para los números no primos con 10 pero con algún factor primo distinto de 2 y de 5. Consistirán en una mera yuxtaposición de la regla de terminación de su parte de factores doses y cincos y de la regla tipo 9 de su parte prima con 10.
Así un número es múltiplo de 196 cuando lo sea de 4 y de 49.
Ahora unas cuantas observaciones:
a) Practiquemos la división por 9,99, 999, …
; la división parece fácil y lo es si el tamaño del numerador es menor que el del denominador. (Si se duda que sea esa la operación, bastará con recordar la forma de hallar la fracción generatriz del segundo miembro). Para hacer la división en general procederemos con un método que nos recordará la deducción de la regla de divisibilidad por 99.


De forma análoga podremos...