Docil
Páginas: 2 (255 palabras)
Publicado: 16 de marzo de 2011
Derivada direccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente)de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectoresparalelos a los ejes.
La derivada direccional de una función sobre un vector unitario es la función definida por este límite:
Si la función es diferenciable, puede serescrita en término de su gradiente
donde denota el producto escalar o producto punto entre vectores.
Demostración
El caso más sencillo de la derivadadireccional se da en el espacio tridimensional. Supongase que se tiene una función diferenciable . La derivada direcciónal según la dirección de un vector sería:
Elprimero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cual lleva, por ser diferenciable la función[1] f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite setiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector :
Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional nose puede generalizar a funciones de en , del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:
Unadiferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente queuna función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente)de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectoresparalelos a los ejes.
La derivada direccional de una función sobre un vector unitario es la función definida por este límite:
Si la función es diferenciable, puede serescrita en término de su gradiente
donde denota el producto escalar o producto punto entre vectores.
Demostración
El caso más sencillo de la derivadadireccional se da en el espacio tridimensional. Supongase que se tiene una función diferenciable . La derivada direcciónal según la dirección de un vector sería:
Elprimero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cual lleva, por ser diferenciable la función[1] f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite setiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector :
Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional nose puede generalizar a funciones de en , del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:
Unadiferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente queuna función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.