Economia

FACTORES DE INTERÉS COMPUESTO


Tomado de Fernando Guzmán
Introducción a la Ingeniería Económica


Los factores de interés compuesto permiten interrelacionar cantidades en diferentes puntos en el tiempo. En el presente capítulo se derivan los factores y se utilizan en problemas financieros prácticos. Al final se muestra su utilización en problemas de ingeniería.

1. Factores de pagoúnico.
Las fórmulas más sencillas en ingeniería económica relacionan cantidades únicas en diferentes puntos del tiempo. Se inicia con la determinación del valor futuro (F) de una cantidad P, como se muestra:



F1 F2 F3 F4 F5 F6





P

Figura 1. Valor futuro de cantidad única.

La cantidad acumulada en el período uno está dada por:
F1 = P + Pi = P (1 + i)La cantidad acumulada en el período dos está dada por:
F2 = F1 + F1i = P (1 + i) + P (1 + i)i = P(1+ i)2

La cantidad acumulada por el período tres está dada por:
F3 = F2 + F2 i – P(1 + i)2 + P(1 + i)2 i = P (1 + i)3

Por inducción matemática:
F = P(1 + i)n (1).

En la fórmula anterior (1 + i)n es el factor que convierte un valor presente a un valor futuro y se representa por(F/P,i,n), conversión que se puede leer (hallar F/dado P, aun interés i, durante n período de interés). Este factor se denomina factor del valor futuro de un pago único, en los problemas de ingeniería se prefiere utilizar la notación (F/P,i,n).

Ejemplo 1:
En un CDT se obtiene un interés del 2% mensual. Con una cantidad inicial de $1.000.000. Qué valor se acumulará al vencimiento en seis meses.Solución:
Los valores involucrados son:
P = $1.000.000
i = 2% mensual = 0.02
i = 6 meses

F = 1.000.000 (1 + 0.02)6 = 1.000.000(1.02)6
F = 1.000.00 (1,126162419264) = 1.126.162,42

El valor acumulado al cabo de los seis meses (valor inicial más intereses) es de $1.126.162.42


Ahora, el valor P puede despejarse de la ecuación 1):

P = F (1/(1 + i)n ) (2)


Ejemplo 2:Se requiere disponer dentro de 15 años de una cantidad de $20.000.000. Qué cantidad se debe depositar en un fondo que renta un interés de 9% anual? (usando la fórmula valor presente).

Solución:
Valores involucrados:
F = $20.000.00
I = 0.09 anual
n= 15 años

Utilizando la fórmula 2:

P = 20.000.000 (1/(1+0.09)15 ) = 20.000.000(1/3.6424) = 20.000.000(0.27453)
P = 5.490.760

La cantidada depositar debe ser de $ 5.490.760


2. Factores de serie uniforme
En la solución de problemas financieros y de proyectos de ingeniería se utilizan frecuentemente series de valores iguales (A), por lo que en ahora se hallarán las fórmulas que relacionan ese valor con un valor futuro y un valor presente.

Valor futuro:

De la fórmula 1) se puede hallar una fórmula que relaciona F y A.El diagrama de flujo de caja es:

F

0 1 2 3 4 n - 1
n



P1 P2 P3 P4 Pn - 1 P


El valor F se compone de la sumatoria del valor futuro de las cantidades en cada período de tiempo:

F = P (1 + i)n-1 + P(1 + i)n-2 + P (1 +i)n-3 + ….. + Pn-1 (1 + i) + Pn (3)

En la ecuación (3) cada valor de P es igual a un término de la serieuniforme A. Multiplicando la ecuación (3) por el valor (1 + i) y reemplazando cada valor de P por A, se tiene:

F(1 + i) = A(1 + i)n + A(1 + i)n-1 + A (1 + i)n-2 + ….. + A (1 + i)2 + A (1 + i) (4)


Restando la ecuación (3) de la ecuación (4), se tiene:

F = A(1+ i)n – A = A (1 + i)n - 1



F = A (1 + i)n - 1
(5)
i


El factor ( (1 + i) - 1)/i ) serepresenta por (F/A, I,n) y se denomina valor futuro de serie uniforme.

Ejemplo 3:
En un fondo de amortización en empresa, una persona se compromete a aportar $100.000 de su salario cada mes, a partir de enero hasta diciembre en una ño. El interés que reconoce el fondo es de 1% mensual. Se pide hallar el valor acumulado al final del año.

Solución:
El diagrama de flujo de caja es para la...