Ecuacion De Calor

CAPITULO 6

LA ECUACION DEL CALOR

Introducci´n o
La ecuaci´n del calor, o ut − ∆u = F (x, t), es el modelo m´s sencillo de ecuaci´n de difusi´n y fue obtenida en la secci´n 1.3 con a o o o detalle. Hemos visto en la secci´n 2.3 c´mo el problema de Cauchy para la ecuaci´n o o o del calor con datos en t = 0 es un problema caracter´ ıstico. En la secci´n 3.4 se o ha estudiado el comportamientode la difusi´n de calor en un medio unidimensional, o advirtiendo que se trata de un modelo irreversible y viendo c´mo la ecuaci´n del calor o o mejora los datos, es decir, tiene efecto regularizante. En este cap´ ıtulo se proyecta estudiar el problema de Cauchy en RN comprobando que es compatible, si bien es necesaria una condici´n unilateral para obtener soluci´n o o unica, por ser caracter´ ´ıstico . A fin de poder demostrar resultados de unicidad se establecer´ el principio del a m´ximo para la ecuaci´n del calor. a o
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La obtenci´n de la soluci´n fundamental es el objeto de la primera secci´n. Con ella o o o obtendremos una soluci´n del problema de Cauchy homog´neo. Se estudia tambi´n o e e un contraejemplo de Tychonoff que pone de manifiesto la no unicidad. La secci´n 6.2se dedica a estudiar el principio del m´ximo en dominios acotados o a y a los teoremas de unicidad m´s simples. a La soluci´n del problema no homog´neo ser´ el objeto de la secci´n tercera y en la o e a o secci´n cuarta se estudiar´ el resultado general de unicidad de Widder. Esta ultima o a ´ secci´n se puede reducir en una primera lectura a informarse del resultado, obviando o lasdemostraciones. Se cierra el cap´ ıtulo con un apartado de ejercicios.

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6.1.- N´cleo de Gauss. Construcci´n de soluciones. u o
Al igual que se ha hecho en la ecuaci´n de Laplace, tratamos de obtener soluciones o de la ecuaci´n del calor que son singulares en el origen. o Empezaremos por el caso de dimensi´n espacial uno que es m´s sencillo de escribir, o a y en el que usaremos un argumento dehomogeneidad frente al cambio de escala, que reduce el problema a una ecuaci´n ordinaria. o El uso de la transformaci´n de Fourier nos permitir´ obtener la soluci´n fundao a o mental en dimensiones mayores. A) En el caso de dimensi´n N = 1, hay un camino muy elemental de obtener la o soluci´n fundamental. o Buscaremos soluciones autosemejantes, es decir, soluciones que al cambiar la escalaconvenientemente permanecen invariantes. M´s precisamente, la escala conveniente a queda determinada observando que en la ecuaci´n del calor hay una derivada en o el tiempo y dos en el espacio. Con esta observaci´n, hacemos el cambio de escala o x = λα y, t = λβ s y consideramos para una soluci´n u, o v(y, s) = u(λα y, λβ s) = u(x, t). Para que v sea soluci´n hemos de tener, o vs − vyy = 0 pero si calculamos,vs − vyy = λβ ut − λ2α uxx , de forma que si β = 2α tenemos, vs − vyy = λβ (ut − uxx ) = 0. Como consecuencia, parece natural buscar soluciones que respeten la homogeneidad x observada, es decir, soluciones que dependan de la variable ξ = √ . La forma de una t tal funci´n, ser´, o a x u(x, t) = tα f ( √ ). t Imponiendo que u verifique la ecuaci´n, ut − uxx = 0, se debe tener, o ξ f (ξ) + f (ξ) − αf(ξ) = 0, 2
x donde ξ = √t . Desde el punto de vista f´ ısico se sabe que hay que imponer la conservaci´n de la cantidad de calor. Normalizando se traduce en, o ∞

u(x, t)dx =
−∞

x tα f ( √ )dx = 1, t −∞

∞

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es decir,

1 x tα f ( √ )dx = tα+ 2 t −∞

∞

∞

f (y)dy = 1,
−∞

por tanto, necesariamente se ha de tener α = − 1 . La ecuaci´n ordinaria puede o 2 escribirsecomo (2f + ξf ) = 0. Tomamos en particular las soluciones de 2f + ξf = 0, es decir, f (ξ) = ce−
|ξ|2 4

,

que para que tenga integral uno, debe ser, u(x, t) = (4πt)− 2 e−
1 |x|2 4t

,

n´cleo de Gauss, que es la soluci´n fundamental buscada. u o La justificaci´n del nombre quedar´ clara en unas pocas l´ o a ıneas. El m´todo es extensible a m´s dimensiones. Se omiten m´s detalles, pues...