Ecuacion de la circunfernecia

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ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
Ecuación de la Circunferencia
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante. A esta distancia se le denomina radio de la circunferencia.
Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen, en las coordenadas (h,k), la ecuación queda:
(x-h)2+ (y-k)2 = r2
También es posible calcular el centro y radio de un círculo sabiendo tres puntos por los que pasa.
Sea C (a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma.

, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenemos:

que es la ecuación de la circunferencia, conocidos su centro y radio.
Desarrollando la ecuación reducida: x2 - 2ax + a2 +y2 - 2by + b2 = r2, y pasando al primer término , obtenemos:
x2 + y2 - 2 ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0.
Si llamamos A = - 2 a ; B = - 2 b y C = a2 + b2 - r2, la ecuación de la circunferencia, en su forma general sería:

Ejemplo: Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (2, -1) y radio 3.
Escribimos la ecuación (x - 2)2 + (y + 1) 2 = 9
Desarrollando: x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0
¿Es una circunferencia?
Para saber si una ecuación de la forma x2 + y2 +Ax + By + C = 0 corresponde a una circunferencia, calcularmos el valor del radio que sería: r2 = a2 + b2 - C, y siendo a = -A/2 y b = -B/2, tendríamos: 
y operando y sacando fáctor común obtendríamos 
.
Si evaluamos el signo de A2 + B2 - 4C,
podemos saber si la ecuación antes dada se corresponde o no con unacircunferencia:

Ecuación general de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Para que una expresióndel tipo:  sea una circunferencia debe cumplir que:
1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.
2. No tenga término en xy.
3. 

EJEMPLOS:
Ejercicios
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación  por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

EJEMPLOS:
2) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto P(8/3, 2).
Solución:
la distancia r = x2 + y2 =r2 seobtiene:
x2 + y2 = (10/3)2
x2 + y2 = 100/9
9x2 + 9y2 = 100
3)Hallar la ecuación de la circunferencia de centro.
C(2, - 2/3) y el radio igual a 7/2.
Solución:
C = (2, - 2/3)
R = 7/2.
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 2)2 + (y + 3/2)2 = (7/2)2
Desarrollando los cuadrados de los binomios y reduciendo, resulta:
X2 - 4x + 4 y2 + 3y + 9/4 - 49/4 = 0
X2 - 4x + 4 + y2 + 3y - 10 = 0
X2 + y2 - 4x +3y - 6 = 0

LA CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO 3 PUNTOS
Calcular la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,3) B(3,2) y C(-4,3)
EJEMPLO:
Un camino posible es hallar las ecuaciones de las rectas mediatrices de los segmentos determinados por los puntos del problema.

Un procedimiento para hallar la ecuación mediatriz de un segmento, es considerarla como "recta perpendicular alsegmento en su punto medio" ; por el cual, necesitas conocer lo siguiente:

* el punto medio del segmento:
Para determinar las coordenadas del punto medio M entre dos puntos suele usarse esta fórmula:
M ( (xo + x1)/2 ; (yo + y1)/2 )

*la pendiente de la recta que contiene al segmento:
Para determinar la pendiente o coeficiente angular de una recta, conociendo las coordenadas: 
(x1 ; y1) /\...
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