ecuaciones de segundo grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación
que se puede poner bajo la forma canónica:

Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto
válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del
discriminante

:



Si
, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las
soluciones son:



Si
,entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es
preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz
cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica
), pues:

y las soluciones son:

Una ecuación de segundo grado, se resuelve aplicando factorización,
cuando la ecuación sea rápidamente factorizable o mediante la fórmula
general.

Por ejemplo resolver la ecuación porfactorización:

x2  5x  6  0
Factorizando :
( x  3)( x  2)  0
x3  0

x2 0

x1  3 x2  2
Ingeniero Julio Núñez Cheng

1

Resolver la ecuación aplicando la Fórmula general:

x 2  2 x  15  0
x
x

b 
2

b 2  4 ac
2a
2 2  4(1)(  15)
2(1)

4  60
2
2  64
28
x

2
2
x1  5 x 2   3
x

2

Tener presente que el coeficiente de b cambia designo al aplicar la
fórmula general.

Métodos de Resolución
1) Factorización.- Según la regla del aspa simple, se iguala cada factor a cero.
2) Fórmula.- Se sustituye el valor numérico de los coeficientes en la fórmula:
Ecuación Completa
Ecuación Incompleta
Ecuación Incompleta
2
2
ax + b x + c = 0
ax + b x = 0
ax2 + c = 0

Problemas
1. La suma de los cuadrados de tres númerosenteros consecutivos es
166. Hallar dichos números.

Sea :
x : Pr imer Número
( x  1) : Segundo entero con sec utivo.
( x  2) : Tercer entero con sec utivo.
Luego : x2  ( x  1)2  ( x  2)2  194
Efectuando operaciones y simplificando :
3x 2  6x  189  0
Re solviendo la ecuación :
x  7 x 1  8 x  2  9

Ingeniero Julio Núñez Cheng

2

2. Dentro de 11 años la edad de Pedro serála mitad del cuadrado de la
edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Pedro.

Edad actual  x
Edad hace 13 años  x  13
Edad dentro de 11 años  x  11
Según el enunciado :
( x  13) 2
x  11 
2
De donde :
x  21
3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de
cerca. Calcular las dimensiones de la finca.

5
55 - x

5
55-

55
xSemiperímetro  55 (mitad del perímetro)
Base  x
Altura  55  x
Según el enunciado :
El área es 750 (base por altura)
x(55  x)  750
55 x  x 2  750
De donde :
x 2  55 x  750  0
x1  25 x2  30

Ingeniero Julio Núñez Cheng

3

4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los
números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del
triángulo es 24m².

3x

5x

4x

Á r e a d e l tr iá n g u lo :
b a s e x a ltu r a
2
(3 x ) ( 4 x )
 24
2
12 x2
 24
2
6 x 2  24
x  2
A 

1º C a te to  3 x  6
2 º C a te to  4 x  8
3 º H ip o te n u s a  5 x  1 0
5. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado
por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se
sabe que su área es540 m².

x
34
50

Ingeniero Julio Núñez Cheng

4

Ancho que rodea al jardín :  x
Área del jardín :

 50 x34

Área total :

 área del jardín  área del ca min o

Luego :
Área del ca min o  área total  área del jardín
Área del ca min o  540
Área total  (50  2 x)(34  2 x)
Área del jardín  (50)(34)
540  (50  2 x )(34  2 x )  (50)(34)
Efectuando operaciones ysimplificando :
4 x 2  168 x  540  0
Dividiendo entre 4 a la ecuación
x 2  42 x  135  0
Factorizando :
( x  45)( x  3)  0
Igualando a cerocada tér min o :
x  45  0
x1  45

x3  0
x2  3

El ancho del ca min o es 3 metros

Ingeniero Julio Núñez Cheng

5

AUTOEVALUACIÓN
Resolver las ecuaciones y los problemas:

1. (x + 6) (x - 6) = 13
2. (x + 11) (x - 11) = 23...