Ecuaciones diferenciales de primer orden, Ing. Rojas Serna

ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN

UNI-FIM

ING. CARLOS ROJAS SERNA

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
Para el desarrollo de Ecuaciones diferenciales de primer orden
tendremos en cuenta las distintas formas en que se presentan
estas de las cuales entre ellas presentamos a continuación :
E.D. DE VARIABLE SEPARABLE
E.D. EXACTA
FACTOR INTEGRANTE DE UNA E.D. NO EXACTAE.D. LINEALES
E.D. DE BERNOULLI
E.D. DE RICATTI
E.D. FORMA GENERAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

E.D. DE VARIABLE SEPARABLE
Sea la E.D. de la forma :
y   f ( x, y )
M ( x, y ) dx  N ( x, y ) dy 0............( )
Si

M ( x, y ) dx  F ( x).G ( y )
N ( x, y ) dx  H ( x).J ( y )

reemplazando en ( ) :
F ( x).G ( y )dx  H ( x).J ( y )dy 0

ECUACIONES DIFERENCIALES

E.D. DEVARIABLE SEPARABLE

dividiendo por :
G ( y ).H ( x)

G ( y ) 0, H ( x) 0

F ( x)
J ( y)
dx 
dy 0
H ( x)
G( y)
Solucion
F ( x)
J ( y)
dx

dy C


H ( x)
G( y)

ECUACIONES DIFERENCIALES

Problema 1
e x sec ydx  (1  e x )sec ytgydy  0

Solucion:
ex
dx  tgydy  0
x
1 e
ex
 1  e x dx   tgydy  c
ln 1  e x  ln cos y  ln c
1  ex
ln
 ln c
cos y1  e x  c cos y

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

Problema 2
cos( x  y)dx  xsen( x  y)dx  xsen( x  y )dy
Solucion :
Sea :

z  x  y  dz  dx  dy
 dy  dz  dx
 cos zdx  xsenzdx  xsenz ( dz  dx)
cos zdx  xsenzdx  xsenzdz  xsenzdx

Agrupando y eliminando
dx senz

dz  ln x   ln cos z  ln c
x cos z
ln x cos z  ln c  x cos z  c
x cos(x  y )  c

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

E.D. EXACTA
Sea el diferencial total :
df
df
dx  dy  df
dx
dy
M ( x, y) dx  N ( x, y) dy 0
df
df dM
 M ( x, y ) 

dx
dxdy dy
df
df
dN
 N ( x, y ) 

dy
dxdy dx

ECUACIONES DIFERENCIALES

E.D. EXACTA
La ecuacion :
Mdx  Ndy 0 sera exacta si:
dM dN

dy dx
df
 N  f ( x, y )   N (x, y ) dy  h( y )
dy
df d (  N ( x, y )dy )

 h( x)  M
dx
dx

ECUACIONES DIFERENCIALES

E.D. EXACTA

 h( x)  M 

d (  N ( x, y )dy )
dx


d (  Ndy ) 
dx
 h( x )    M 
dx 


Solucion :

d (  Ndy ) 
dx  c
f(x,y)=c   Ndy    M 
dx 



ECUACIONES DIFERENCIALES

Problema 1 :
(3 x 2 y 2  senx) y ,  ( 2 xy 3  y cos x)Solucion :
(2 xy 3  y cos x) dx  (3 x 2 y 2  senx) dy  0

Como

M
N
2
 6 xy  cos x
 6 xy 2  cos x
y
x
M N

la E.D es exacta
y
x

ECUACIONES DIFERENCIALES

f

 M ( x, y )  f  (2 xy 3  y cos x)dx  x 2 y 3  ysenx  h( y )
x
f

 3 x 2 y 2  senx  h, ( y )  N ( x, y )  3x 2 y 2  senx
x
 h, ( y )  0

h( y )  k



Solucion :
f C
x 2y 3  ysenx  C

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

FACTOR INTEGRANTE DE UNA E.D. NO EXACTA
Sea la ecuacion diferencial no exacta :
Mdx  Ndy  0
Sea u(x,y) un valor tal que:
uMdx  uNdy  0 sea exacta
d (uM ) d (uN )


dy
dx
Derivando :
dM
du
dN
du
u
M
u
N
dy
dy
dx
dx
 dM dN 
du
du
u

N
M

dx
dy
 dy dx 

ECUACIONESDIFERENCIALES

Sea la ecuacion diferencial no exacta :
Sea z(x,y) un valor tal que:
du du dz du du dz
 . 
 .
dy dz dy dx dz dx


 dM dN  du  dz
dz 
u


N
M



dy
dx
dz
dx
dy







 dM dN 



dy
dx
du
 dz
 
u  dz
dz 
 N dx  M dy 



ECUACIONES DIFERENCIALES



 dM dN 
 dy  dx 
 dz
ln(u )   
 dz
dz 
N dx  M dy 



Por tanteo los valores de z mas usados son :
z  x, z  y, z  x  y, z  x  y , z  xy , z  x 2  y 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

Problema 1 :
(2 xy 2  3 y 3 ) dx  (7  3 xy 2 ) dy  0

Solucion
M
N
2
 4 xy  9 y
  3 y2
y
x
M
N
Como

la E.D no es exacta
y
y
 Hallamos el factor int egrante
ln u 



4 xy  9 y 2  (3 y 2 )
dz...