Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuacionesdiferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuaciones en derivadas parciales: aquéllas quecontienen derivadas respecto a dos o más variables.
Orden de la ecuación
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación.
Grado de la ecuación
Es lapotencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Ecuación diferencial lineal
Se diceque una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
* Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
* En cada coeficiente que aparecemultiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
* Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial esuna función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes(una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinaciónlineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución...