Ecuaciones diferenciales

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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN “N” NO HOMOGENEAS

EJERCICIO 17
y''-2y'+y=8cosx

Solución homogénea
y''-2y'+y=0
1.- Ecuación característica
λ2-2λ+1=0
2.- Encontrar lasraíces
λ-1 (λ-1)
λ1=1
λ2=1
Yh=C1ex+C2Xex

Solución particular
yp=Acosx+Bsinx
y'p=-A sinx+Bcosx
y''p=-Acosx-Bsinx

-Acosx-Bsinx+2Asinx-2Bcosx+Acosx+Bsinx=8cosx-Acosx+Acosx-2Bcosx=8
-Bsinx+Bsinx+2Asinx=0

-2B=8 ∴ B=4
2A=0
yp=-4sinx
y=C1ex+C2Xex-4sinx

EJERCICIO 18

Solución homogénea
y''+3y'+9y=0
1.- Ecuación característica
λ2+3λ+9=0
2.- Encontrar lasraíces

-(3)±(3)2-4(1)(9)2(1)=-3±-272
α=-32 β=272i
λ1=-32+272i
λ2=-32-272i
Yh=e-32xAcos-32+272X+Bsin-32-272X

Solución particular
yp=Asinx+Bcosx+A1x+A0
y'p=A cosx-Bsinx+A1y''p=-Asinx-Bcosx

-Asinx-Bcosx+3Acosx-3Bsinx+3A1+9Asinx+9Bcosx+9A1x+9A0=12sinx+9x

-Asinx+9Asinx-3Bsinx
-Bcosx+9Bcosx+3Acosx
3A1+9A0
9A1x

8Asinx-3Bsinx=12
8Bcosx+3Acosx=0
3A1+9A0=0
9A1x=9 ∴A=1

3A+8B=0
8A-3B=12

A=388-3 b=012
A=-73

A= 0812-3A=-96-73=9673 B=30812A=-3673

A=3990 b= 09
A=-81

A1=0990A=-81-81=1A0=3099A=27-81=-13

yp=-3673cosx+9673sinx+x-13

y=e-32xAcos-32+272x+Bsin-32-272x-3673cosx+9673sinx+x-13

EJERCICIO 19
y''-3y'-9y=4cos2x-5e-x

Solución homogénea
y''-3y'-9y=0
1.- Ecuacióncaracterística
λ2-3λ-9=0
2.- Encontrar las raíces

-(-3)±(-3)2-4(1)(-9)2(1)=3±452
α=-32 β=452i
λ1=32+452i
λ2=32-452i

yh=C1e32+452+C2e32+452

Solución particularyp=Acos2x+Bsin2x+Ae-x
y'p=-2Asin2x+2Bcos2x-Ae-x
y''p=-4Acos2x-2Bsin2x+Ae-x

-4Acos2x-4Bsin2x+Ae-x+6Asin2x-6Bcos2x+3Ae-x-9Acos2x-9Bsin2x+Ae-x=4cos2x-5e-x

-4Acos2x-9Acos2x-6Bcos2x-4Bsin2x-9Bsin2x+6Asin2x
Ae-x+3Ae-x+Ae-x

-13Acos2x-6Bcos2x=4
-13Bsin2x+6Asin2x=0
5Ae-x=5 ∴ A=1

-13A-6B=4
6A-13B=0

A=-13-66-13 b= 40
A=205

A= 4-60-13A=-52205 B=-13460A=24205...
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