Ecuaciones diferenciales

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se intentara familiarizar al estudiante con la nomenclatura y la notación de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (edo), darle una perspectiva del vasto campo de aplicaciones que encuentra este tipo de ecuaciones y comunicarle algunas técnicas básicas de solución de las edo mas simples, las de primer orden (edo1) y las mas complejas. También se dará unacondición sencilla que deben cumplir las ecuaciones de este tipo para tener solución y que esta sea única.

Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es

(1a)[pic]

La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:

(1b)[pic]

Donde los ai representan funciones dependientes de t.
Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una"familia" de curvas o funciones del tipo [pic] que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.

DEFINICIÓN

Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una solavariable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o mas variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E. D. P.).
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

[pic] (1)
Y
[pic] (2)

TIPOS DE EDOS Y FORMAS DE RESOLUCIÓN
Existendiversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES
El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de unasolución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.
El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parteresulta trivial.

SOLUCIONES ANALÍTICAS
Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie deTaylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos generales.
SOLUCIONES NUMÉRICAS
Algunos de los métodos de solución numérica de ecuacionesdiferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

Otro tipo de ecuaciones que pueden estudiarse son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo), como es el caso de

u′(t) = 7 − 2u(t − 3)

Están caracterizadas por la presencia de un desplazamiento t − t0 en el argumento de la función incógnita u(t). En general, son más difíciles de...