Ecuaciones diferenciales

Universidad Tecnológica Metropolitana Departamento de Matemática. Ecuaciones Diferenciales - Guía No1 - I – 2006 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 1. Escriba su respuesta como solución de una ecuación diferencial, es decir, la función y la ecuación diferencial de la cual es solución: (*) a. Una función cuya 1ª derivada sea la misma función. b. Una función cuya derivada sea un múltiplode la misma función. c. Una función cuya 2ª derivada sea igual a la función misma. d. Una función cuya 2ª derivada sea la negativa de la función misma. 2. Suponga que la función biparamétrica yŸx  C1y1Ÿx C2y2Ÿx es solución de una ecuación diferencial de segundo orden  en un intervalo I . Si x =0 esta en I , determine una solución particular de la familia, que satisfaga las condicionesyŸ0 2 y y UŸ0  0 .Indique las hipótesis requeridas.  3. Indique cómo se resuelven los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales y ejemplifique: a. dy  x fŸ  dx b. 2 d y fŸ   x dx2 4. Encuentre una ecuación diferencial lineal de 2º orden FŸx, y, yU, y’’) 0 para la cual y C1x C2x3 sea una familia biparamétricas de soluciones. Asegúrese que en su ecuación no estén los parámetrosarbitrarios C1 y C2 . 5. Verificar que la función indicada es solución de la Ecuación Diferencial dada: x  a. 2yU 0; y y e 2  20 b. dy  24 y 6 6 e t 20y 5 5 dt   c. dy   y ,x >0 c 2 y Ÿ x     x dx  d. 2xydx  x 2  y  0; Ÿ 2 dy y yx2  2 c  (*) U    xy e ( y  3  U y; y x  1  f. y U2 |y| ; y  x x  g dX Ÿ   Ÿ    X t (*) ln 2  2X 1 X;  dt  1 X  x 2 2 2 x 2 y e  ;t dt   e ce x h. y U xy 1;      0 UU  ae3x  x i. y
 y U y   be 4 12y 0; UU  j. y  y; y coshŸ  senhŸ  x  x UU Ÿ   k. y  y U 2 0; y ln| x  1 |   2 c c
2 UU l x , xyU 2y y xcosŸnŸ   x 0 x y   0; 3 2 d y dy y 2d y 2 m. x3 3  x   c x y c 1  2 xlnŸ + 4x 2 , 12x 2x  2dx   dx  dx   x2   ,x  0  y  2 n. xyU y 0; 2   x ,x ≥ 0   t ; y 2 o. y xyU y U 2 ; Ÿ   t x 2

l.

x 0

6. Compruebe que la familia uniparamétrica de soluciones de y xyU1 ŸyU 2 es y c y cx  1  2 . Demuestre que x2  2 1 define una solución singular de la ecuación diferencial en el intervalo

1 x 1
7. Determine, si el teorema deexistencia y unicidad implica que el problema con valor inicial dado tiene una solución única. a) dy = x 3 − y 3 , y (0) = 6 dx b) x dx + 4t = 0, y ( 2) = π dt c) y dy = x, y (1) = 0 dx

8. Verifique que Explique porqué

y 4 x2 e y 4 x2 son soluciones de y= 4 x2
2

dy x y en el intervalo 2 x 2. dx

4 x

, 2 x 0  , 0 Jx 2

no es unasolución de la ecuación diferencial en el intervalo

9. Encuentre el valor de m tal que y xm sea la solución de la ecuación diferencial: (*) a. x2yUU  0 y b. x2yUU  U 0 6xy 4y 10. Verifique si y1 x2 e y2 x3 son, ambas, soluciones de x2yUU  U 0 4xy 6y ¿Son también soluciones c1y1 , c2y2 ,con c1 ,c2 constantes arbitrarias? Justifique. ¿Es la suma y1  2 solución? X 11. Obtengala ecuación diferencial de la familia de curvas dadas por: a. y  Cex 2 b. CŸy1  x 3x c. y  C1e C2 e4x d. y  C1senŸwt C 2 cosŸwt , donde w es una constante que no debe eliminarse.   kx e. y  C1e C2 ekx, donde k es una constante que no debe eliminarse. f. y  C1excosŸx C2 ex senŸx  g. y  C1 C2ex C3 xe x (*) 12. Encuentre la ecuación diferencial de la familia derectas que pasan por el origen. (*) 13. Determine la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje OY. 14. Encuentre la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por Ÿ -3  Ÿ0, 3 y cuyos centros están en el 0, y eje OX. 15. Determine la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y22x. Respuestas: 1) a) y = ex ,...