Ecuaciones diferenciales

Introducci´n a las ecuaciones o diferenciales ordinarias
Noem´ Wolanski ı

α/β

γ/δ
Diagrama de fases para dos poblaciones simbi´ticas o

´ Indice General
Preliminares Cap´ ıtulo 1. Introducci´n o 1. Generalidades. 2. Descripci´n de algunos m´todos de resoluci´n de ecuaciones de 1er. orden. o e o Ejercicios Cap´ ıtulo 2. Existencia y unicidad de soluci´n o Ejercicios Cap´ ıtulo 3.Sistemas lineales de 1er. orden y ecuaciones lineales de orden n 1. Generalidades y sistemas homog´neos e 2. Sistemas no homog´neos e Cap´ ıtulo 4. Resoluci´n de sistemas lineales con coeficientes constantes o Ejercicios Cap´ ıtulo 5. Ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes Ejercicios Cap´ ıtulo 6. Comportamiento asint´tico de las soluciones o 1. Diagramas de fases 2. Diagramas defases de sistemas lineales a coeficientes constantes 3. Linearizaci´n o 4. Sistemas Conservativos Ejercicios Agradecimientos Bibliograf´ ıa 5 7 7 10 12 15 22 23 23 29 33 45 47 52 55 56 60 68 74 79 81 83

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Preliminares
El objetivo de estas notas es dar una introducci´n al tema de Ecuaciones Diferenciales o Ordinarias (en adelante ODE) a nivel elemental. Las notas est´n dirigidas a estudiantesde a la materia An´lisis II – Matem´tica 3 de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la a a Universidad de Buenos Aires. Al dise˜ar estas notas debemos tener en cuenta que en esta n materia el tema de ODE se dicta en no m´s de 5 semanas. Es por esta raz´n que ciertos a o temas se dejan para desarrollar en los trabajos pr´cticos. Entre esos temas est´n los m´todos a a e de resoluci´n deecuaciones de primer orden y muchos ejemplos de aplicaciones que est´n como o a ejercicio para los alumnos. En estas notas discutiremos algunos problemas en los cuales aparecen ODE, daremos la demostraci´n del Teorema de Existencia y Unicidad local de soluci´n y analizaremos el dominio o o de definici´n de las mismas. A fin de dar claridad al texto, daremos las demostraciones bajo o condicionessimples. Se dar´n los m´todos de resoluci´n de ecuaciones y sistemas lineales a coeficientes constantes a e o (tanto homog´neos como no homog´neos). e e Por otro lado, se discutir´ la noci´n de diagrama de fases y su relaci´n con la posibilidad a o o de predicci´n del comportamiento de las soluciones sin conocer una f´rmula an´litica de las o o a mismas. Se ver´ c´mo son los diagramas de fases de sistemaslineales a coeficientes constantes a o de dimensi´n 2 y tambi´n para sistemas no lineales conservativos. Se discutir´ la noci´n de o e a o estabilidad lineal y se utilizar´ para determinar la estabilidad de equilibrios de sistemas no a lineales de dimensi´n 2. o

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CAP´ ıTULO 1

Introducci´n o
1. Generalidades. Sea V (t, x, y, z) un campo de velocidades correspondiente a un fluido (porejemplo). En el curso ya vimos que una part´ ıcula que se mueve en el fluido sigue una trayectoria σ(t) tal que su vector velocidad, σ (t), verifica σ (t) = V (t, σ(t)) para todo tiempo t. Esto es un sistema de ecuaciones diferenciales de 1er. orden. A saber, si σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) se debe tener para todo t,   x = V1 (t, x, y, z),  y = V2 (t, x, y, z), (1.1)   z = V3 (t, x, y, z).Claramente, para determinar la posici´n de una part´ o ıcula en un instante t debemos conocer tambi´n su posici´n en alg´n instante t0 ya que en un instante dado habr´ part´ e o u a ıculas en diferentes puntos y por lo tanto sus trayectorias no son iguales. De modo que lo que nos plantearemos ser´ encontrar una soluci´n de (1.1) sujeta a que a o σ(t0 ) = X0 donde t0 ∈ R y X0 ∈ R3 son dados. Por ejemplo, enuna variable podr´ ıamos intentar resolver el problema x = x, x(0) = 1. Tenemos x x (t) d = 1, pero = log x(t). Por lo tanto, lo que queremos es que x x(t) dt d log x(t) = 1 dt para todo t.

De aqu´ que se deba tener log x(t) = t + c para alguna constante c. Como para t = 0 tenemos ı x(0) = 1. Debe ser log 1 = c. Esto nos dice que c = 0 y por lo tanto log x(t) = t o lo que es equivalente x(t)...