Ejemplos de calculo de áreas

Camargo Mayen Arturo

6° F

Informática

1. y=x , y=0, x=2, x=5

2

DETERMINAR EL ÁREA BAJO LAS CURVAS 2.

y=x , y=0 , x=1, x=3

3

∫2

5

x 3 5 53 2 3 125 8 117 x dx= = − = − = =39 u 2 3 2 3 3 3 3 3
2

∣

∫1 x 3= x 4
3

4 3

∣

=

1

3 4 14 80 − = =20u 2 4 4 4

3. y=4x− x2 , y=0 , x=1, x=3

4.

x=1 y 2 , x=10

4x 2 3 x3 3 4 32  33 4 12  13 95 ∫1 4x− x = 2 − 3 = 2 − 3 − 2 − 3 = 1 − 3 1 1 27 5 22 2 − = u 3 3 3
3 2

∣ ∣

∫−3 1 y 2 dy= y y 3
3

3

∣

3

=3

−3

33 −33 −−3  3 3

27 −27 3 −−3 =12−−12=24u 2 3 3 ¿

Corona González Juan Manuel

6° F

Informática

5. x=3y 2−9, x=0, y=0, y=1

6.

x= y 4y , x=0

2

y 24y=0 y 1  y 24=0 y 1=0 y 2 =−4

∫0 3y2 −9 dy=3
3 3

1

y3−9y 3

∣

1 0

∫−4 y 2 4y dy= y −4 y 3 2
0

 7.

3 1 30 −91− −90=1−9=−8u 2 3 3 y=9−x , y= x3
2

64 64 64 − = −32 3 2 3 −4 64 96 −32 32 2 − = = u 3 3 3 3

3

2 0

∣

=0−

8. y=2−x 2 , y=−x 2−x 2=−x 2x− x 2=0 2[ x 1 1− x 2 ]=0 x 1 1−x 2 =−2 ¿

∫−3 [9− x 2− x3]dx=∫−3 9−x 2 dy−∫−3 x 3 dx
x x − 3x 3 −3 2 −3 3 3 2 3 −3 3 −3 2 [{93− }−{9 −3−}]−[{ 33}−{ 3−3}] 3 3 2 2 9 18 9 18 [18−−18]−[  − − ] 2 2 2 2 27 −9 [36 ]−[ − ]=36−18=18u 2 2 2 9x−
3 3

3

3

3

∣

2

∣

3

∫−1  2−x 2−−x dx ∫−1 2−x 2 dx∫−1 x dx = 2x−
x 2 x 2    3 −1 2 −1 3 3 2 2 −1 2 −12 [{2 2− }−{2−1− }][ − ] 3 3 2 2 12 8 −6 1 4 1 3 9 [ − −  ]−[ − ]=3 = u 2 3 3 3 3 2 2 2 2
2 2 3

2

∣

2

∣

Corona GonzálezJuan Manuel

6° F

Informática

9. y=x2 −4, y=8−2x 2 x 2−4=8−2x2 3x 2=12 12 x 2= 3 x=∓2
f x =g  x 

∫−2  x −4−8−2x =∫−2 x 2−4−∫−2 8−2x2
2 2

2

2

2

2x3 2  3 −2 −2 3 3 2 23 2−23 2 −2 [{ −4 2}−{ −4−2}]−[{82− }−{8−2− }] 3 3 3 3 8 24 −8 24 48 16 −48 16 −32 64 −96 [ − −  ][ − −  ]=[ ]−[ ]= 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 −32=32u 

x3 −4x 3

∣

2−8x−

∣

10.

y=x −4x , y=4x

4

2

2

f  x=g  x  x 4 −4x 2=4x 2 x 4=8x 2 x4 =8 x2 x 2 =8 x=± 8=2  2

∫−2  2 4x 2− x 4−4x 2 dx 22 ∫−2  2 8x 2−x 4 dx 2 2 22 ∫−2  2 8x 2 dx −∫−2  2 x 4 dx
8x 3 3
3

22

∣

22

− −

−2  2 3

x5 5

∣

22

−2  2

 ] [ [     ] [   
82  2 8 −2  2 − 3 3

[

2  2 −2  2 − 5 5

128 2 −128 2128 2 −128 2 256  2 256  2 − − − = − 3 3 5 5 3 5 1280  2 768  2 512  2 2 − = u 15 15 15

  ] [
5

5

]
]

][

Corona González Juan Manuel

6° F

Informática

SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN

MÉTODO DE CILINDROS Y ANILLOS

1. Calcular el volumen de la esfera que se genera al hacer girar la curva x2+y2=r2 cuando se gira alrededor del eje x. 2 2 2 y =r − x y= r 2− x 2

∫a y 2 dx=∫−r   r 2−x 2  r ∫−r r 2−x 2  dx r ∫−r  r 2− x 2 dx r r 2 2  r ∫−r dx −∫−r  x dx
r
2

b

r

2

∣ [r −−r ] ∣ r 2r  ∣
 r2 x
2

r

−

−r r

∣

r

−r

x3 3

− [ −

−r r −r

2 6 2 2  r 3− r 3=  r 3− 3 3 3

r 3 −r r − ] 3 3 −r 3 r 2r   3 −r 4 r 3=  r 3 u 3 3

∣

∣

2. Hallar el volumen del solido generado al hacer girar lasuperficie en el eje de las x's limitada por la curva 4 y= y las rectas x = 1, x = 4. 3 4 4 4 2 16   dy=∫1  2  dy ∫1 x x 4 x−1 4 16  x−2=16   ∫1 −1 1 1 4 16  y −2 =16− x 1 16  − 16 =12 u 3 4

∣

∣

Corona González Juan Manuel

6° F

Informática

3. Calcular el volumen del solido que se genera haciendo girar alrededor del eje x la superficie tiene como limite geométricoy=e2, las rectas y=0, x=0, x=1.

∫0 e x 2 du 1 ∫0  e 2x du
u=2x du=2dx 1 1 ∫0  e 2x 2 1   2 2x 3 e  =  e −1u 2 2 0

1

∣

4. Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar alrededor del eje y la superficie limitada por 2 2 x y  2 =1 2 a b y2 x= 1− 2  a 2 b

 ∫
b

−b

 x 2 dy

y2 2 ∫−b  1− b 2 a dy b  2 a ∫−b − 2 b b  b a 2 ∫−b dy− 2 ∫−b...