Ejercicios De Aplicaciones De La Derivada Copia

APLICACIONES DE LA DERIVADA
Ecucación de la recta tangente
Ejercicio nº 1.Halla las rectas tangentes a la circunferencia:
x2 + y2 + 2x + 2y − 6 = 0 en x0 = 1

Ejercicio nº 2.Dada la función f (x ) = x 2 e x
abscisa x0 = −1.

2

−1

, escribe la ecuación de su recta tangente en el punto de

Ejercicio nº 3.Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y =

x (2 x + 1)
x +2

en x 0 = 2.Ejercicio nº 4.Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva:
y=

4x − 2
en x 0 = 1
x ( x 2 + 1)

Ejercicio nº 5.Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva x2 + y2 − 2x − 4y = 0 en el punto (0, 4).

Monotonía y curvatura
Ejercicio nº 6.Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de
inflexión:
f (x ) =

x4 x3
−
− x2 +1
12
9

Ejercicio nº7.Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
f (x ) =

x2 + x +1
ex

1

Ejercicio nº 8.Dada la función:
f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x
a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.
b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Ejercicio nº 9.Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
f (x ) =

x 2 − 2x + 2
x−1

Ejercicio nº 10.Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x − 2)3 (x + 1)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Optimización de funciones
Ejercicio nº 11.El lado de un cuadrado tiene una longitud de 4 metros. Entre todos los cuadrados inscritos en el cuadrado
dado, halla el de área mínima:

Ejercicio nº 12.Un depósito abierto de latón con basecuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener
para que su fabricación sea lo más económica posible?

Ejercicio nº 13.Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol
adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de
árboles que debe tener la huerta para que laproducción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?

Ejercicio nº 14.Un transportista va de una ciudad A a otra B a una velocidad constante de x km/h por una carretera en la
que debe cumplirse que 35 ≤ x ≤ 55. El precio del carburante es de 0,6 euros el litro y el consumo es de 10 +
x2/120 litros por hora. El conductor cobra 8 euros por hora y la distancia entre A y B es de 300 km. Halla la
velocidad a laque debe ir para que el viaje resulte lo más económico posible.

2

Ejercicio nº 15.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus
catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga volumen
máximo.

Regla de L´Hôpital
Ejercicio nº 16.Calcula, utilizando la regla de L'Hôpital:
a) lím
x →0

x 2 −sen 2 x
x4

(

b) lím 1 + x 2
x →0

)

1
x

Ejercicio nº 17.Halla los siguientes límites:
cos 2 x − 1
x →0
x2

a) lím

b) lím (cos 2 x )

3

x2

x →0

Ejercicio nº 18.Calcula los siguientes límites:
a) lím
x →0

x cos x − sen x
x3

1

b) lím x 1− x
x →1

Ejercicio nº 19.Calcula los límites:
a) lím
x →0

x 2 + sen x
x 2 − sen x

b) lím

ln x

x → +∞ 3

x

Ejercicio nº 20.Obtén el valor de lossiguientes límites:
1 − cos x
x →0
tg x

a) lím

1

b) lím x x
x → +∞

3

Teorema de Rolle y del valor medio
Ejercicio nº 21.Calcula m y n para que la función:

mx + 1
f (x ) = 

− 2 x 2 + 3 x + n

si

x ≤1

si

x >1

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis?

Ejercicio nº 22.Dada la función:
3 − x 2

 2
f (x ) = 
1
x


si

x ≤1

si

x>1

Comprueba que satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la
tesis?

Ejercicio nº 23.Comprueba que y = x − x3 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [−2, 1].
¿Dónde cumple la tesis?

Ejercicio nº 24.Calcula a, b y c para que la función:
2 x 2 − ax
f (x ) = 
bx + c

si
si

x <2
x ≥2

cumpla las hipótesis del teorema...