ejercicios de coordenadas polares

1 CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ±b cosθ o de la forma r = a ±b senθ
Consideremos tres casos:
1. Si a = b se llama CARDIOIDES
Ejemplo 1
Graficar r = 6 + 6 cos θEsta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: f (θ) =













Ejemplo 2
Graficar r = 6 − 6 cos θ








Ejemplo 3
Graficar r = 6 + 6 sen θEjemplo 4
Graficar r = 6 − 6 sen θ









2 Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO

Ejemplo 1
Graficar r = 6 + 3cos θ








Ejemplo 2
Graficar r = 6 − 3cos θEjemplo 3
Graficar r = 6 + 3sen θ








Ejemplo 4
Graficar r = 6 − 3 sen θ















3 Si a < b se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO

Ejemplo 1Graficar r = 3 + 6 cos θ










Ejemplo 2
Graficar r = 3− 6 cos θ









Ejemplo 3
Graficar r = 3 + 6senθ












Ejemplo 4
Graficar r = 3 − 6 sen θ4 ROSAS

Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma
r = a cos (nθ) o r = a sen (nθ) para n > 1∧ n ∈ N
De aquí consideramos dos casos:
1. Si n es PAR es una rosa de2n petálos

Ejemplo
Graficar r = 4 sen (2θ)
SOLUCIÓN:
Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos













2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos
EjemploGraficar r = 4 cos (3θ)
SOLUCIÓN:
Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos























5 LEMNISCATAS
Tienen ecuación polar de la forma r 2 = a cos 2θ o dela forma
r 2 = a sen 2θ

Ejemplo 1
Graficar r 2 = 4 cos 2θ












Ejemplo 2
Graficar r 2 = −4 cos 2θ













Ejemplo 3
Graficar r 2 = 4 sen 2θ6 ESPIRALES
Consideramos dos tipos:
4.3.7.1 Espiral de Arquímedes.
Su ecuación polar es de la forma r = aθ
Ejemplo
Graficar r = 2θ















7...