Ejercicios de integral doble

EJERCICIOS DE INTEGRAL DOBLE

1º) Obtener el valor de la integral doble I =
∫∫(x + y)·(x − y)4 dxdy

efectuando el
siguiente cambio de variable: x = u + v ;
2
y = u − v , siendo R la región del plano limitada por
2
las cuatro siguientes rectas: x + y = 1; x + y = 3 ; x – y = 1 ; x – y = –1 (Septiembre 2002, ex. or)
Solución.-
x + y = u y x – y = v, luego elrecinto R está limitado por u = 1, u = 3; v = 1, v = –1.
1 1
∂(x, y) 2 2 1

1 4 1 3 1 4 4
El jacobiano
∂(u, v) = 1
2
= −
− 1 2
2
⇒ I =
2 ∫∫u·v
dudv = udu v
2 1 −1
dv =
5
2º) Calcular el volumen que determina la función f (x, y) = x·y sobre el recinto
A = {(x, y) ∈—2 /1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x,y ≥ 0} (Septiembre 2002, ex.res.)
π
Volumen = ∫∫ xydxdy = (cambiando a polares) = ∫
2
ρ3 dρ∫ 2 cos θsenθdθ =

1 =ρ 4
= 

2 π
 = cos 2θ  2
  
A 1 0

= 15 .
2  4 1
2 0 8

3º) Dada la integral doble A =

entre x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 9
Se pide
∫∫(x 2 + y 2 )5 2 dxdy donde R es la región comprendida
1º Resolver la mencionada integral doble efectuandonecesariamente un cambio de variables a coordenadas polares
2º Dibujar el recinto en que se transforma el recinto inicial R cuando se efectúa la transformación a coordenadas polares (Enero 2003, ex. or.)
Solución:
1º)
x = ρ
cos 

1 ≤ ρ ≤ 3 


J = ρ ⇒ A =
3
ρ6 dρ
2 π
dθ = 2π
ρ 6 dρ = 4372π
y = ρsenθ 
0 ≤ θ ≤ 2π
∫1 ∫0 ∫1 7

2º) ρ3

1 3
1

θ
0 2π
En coordenadas cartesianas En coordenadas polares

4º) Dada la integral doble A =

definido por la ecuación x2 + y2 ≤ a2.
Se pide
∫∫ R
x ( x 2 + y2 )
1
2 dxdy donde R es el primercuadrante
1º Resolver la mencionada integral doble efectuando necesariamente un cambio de variables a coordenadas polares
2º Dibujar el recinto en que se transforma el recinto inicial R cuando se efectúa la transformación a coordenadas polares (Enero 2003, ex. res)
Solución:

= ρ θ
0 ≤ ρ ≤ a

a π a 4
1º)
x cos }
=π 
J = ρ ⇒
A = ρ3 dρ
2
cos θdθ =y = ρsenθ
0 ≤ θ ≤ ∫ ∫ 0 4
2  ρ

2º) a

θ
a 0 π
0
2
En coordenadas cartesianas En coordenadas polares

5º) Obtener el valor de la integral doble I =
∫∫R

xy2 dxdy

Siendo R la región del plano definida por los tres vértices: A(1,1) ; B(2,1) ; C(2,2) (Septiembre
2003, ex. res)
Solución.-

2 x 2
2  y3 1 1 ∫1  
I = ∫
xdx ∫
y dy =
x  
1
dx =
2  x3 1 
2  x 4 x 

 x5 x 2 
∫1  3 3 
∫1 

3 3 

 15 6 
= x 

- = 47
30
-1
− dx =
 − dx =  −  =
1

6º) Utilizando necesariamente coordenadas polares, en todo el desarrollo, calcular cuales serán tanto los límites de integración, como la expresión de la funciónsubintegral, en la siguiente integral que inicialmente aparece en coordenadas cartesianas:

I = ∫
1
0 dx ∫
f (x, y)dy
0

(Septiembre 2004, ex. res)
Solución.-
El recinto de integración es el cuadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1).

Consideremos los dos triángulos en que es dividido por la diagonal que une (0,0) y (1,1):

1 senβ(0,1)

β

(0,0)
(1,1)

α (1,0)

1 cos α

En el primer triángulo, 0 ≤ θ ≤
π y 0 ≤ ρ ≤
4
1 ; en el segundo triángulo,
cos θ
π ≤ θ ≤
4
π y 0 ≤ ρ ≤
2
1 . Luego la integral quedaría:
senθ
I = ∫
π / 4

0
dθ∫
1 / cos θ

0
ρf (ρ cos θ, ρsenθ)dρ + ∫
π / 2
π / 4 dθ∫
1 / senθ

0
ρf (ρ cos θ, ρsenθ)dρ
7º) Utilizando necesariamente coordenadas...