Ejercicios ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales de Primer orden y Aplicaciones

1. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: y '+ y = 0 Solución: la ecuación diferencial se la puede resolver por variables separables, como se ve. dy 1 y '+ y = 0 ⇒ = − y ⇒ ∫ dy = − ∫ dx + c ⇒ ln y = − x + c ⇒ y = ke− x dx y Para graficar la familia de curvas se procederá a signarvalores a la constante, de donde se hallan las siguientes curvas.

k =0  k = −1    k = 1  ⇒ y = ke− x k = −2   k =2  
2. Dada la ecuación diferencial xy ' = y , determine la solución general en función de k, grafique la curvas integrales y encuentre la solución particular que verifica y (1) = 2 . Solución: la solución se la puede hallar por el método de variables separables, como seobserva. dy 1 1 xy ' = y ⇒ x = y ⇒ ∫ dy = ∫ dx + c ⇒ ln y = ln xk ⇒ y = xk dx y x Determinado la solución particular para las condiciones dadas. y = 2 y (1) = 2  ⇒ y = xk ⇒ 2 = k ⇒∴ y = 2 x x = 1 Graficando la familia de curvas:

3. Resolver la siguiente ecuación diferencial ( y 2 + xy 2 ) y '+ x 2 − yx 2 = 0 Solución. Si factorizamos términos semejantes, podemos emplear el método de ecuacióndiferencial de variables separables ya que tiene la forma f ( x)dx = g ( y )dy .

(y

2

+ xy 2 ) y '+ x 2 − yx 2 = 0 ⇒ y 2 (1 + x)dy = − x 2 (1 − y ) dx ⇒ ∫

y2 x2 dy = − ∫ dx + c... A 1− y 1+ x

Integrando por cambio de variable en ambas integrales tenemos:

1

Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
v = 1 − y y y (1 − v)  ∫ 1 − y dy ⇒ dv = −dy ⇒ ∫ 1 − y dy = ∫ v
2 2 2Ecuaciones Diferenciales de Primer orden y Aplicaciones

(1 − y ) v y2 dy = − ln (1 − y ) + 2 (1 − y ) − ( −dv ) = − ln v + 2v − ⇒ ∫ 2 1− y 2
2 2

2

2 u = 1 + x (1 + x ) − 2 1 + x + ln 1 + x x2 x2 (u − 1) 2 u x2 dx ⇒  ⇒∫ dx = ∫ du = − 2u + ln u ⇒ ∫ dx = ( ) ( ) ∫ 1+ x 1+ x u 2 1+ x 2 du = dx Reemplazando las últimas dos integrales en la ecuación A, empleando propiedades y simplificando. 2 2(1 − y ) = −  (1 + x ) − 2 1 + x + ln 1 + x  + c ⇒ 2 ln  1 + x  − 2( x + y) + x 2 − y 2 = c   − ln (1 − y ) + 2 (1 − y ) − ( ) ( )    2  1− y   2   

 1+ x  ⇒∴ 2 ln   + ( x + y) ( x − y − 2) = c  1− y 

4. Resolver la ecuación diferencial por variables separables.

dy xy + 3 x − y − 3 = dx xy − 2 x + 4 y − 8

Solución: factorizando en el denominador y denominador, yseparando variables ya que tiene la forma de f ( x)dx = g ( y )dy . dy xy + 3 x − y − 3 y ( x − 1) + 3( x − 1) dy ( x − 1)( y + 3) y−2 x −1 = = ⇒ = ⇒∫ dy = ∫ dx + c... A dx xy − 2 x + 4 y − 8 x( y − 2) + 4( y − 2) dx ( y − 2)( x + 4) y +3 x+4 Resolviendo las integrales por separado.  y−2 y 2 3 2  ∫ y + 3 dy = ∫ y + 3 − y + 3 dy = ∫ 1 − y + 3 − y + 3  dy = y − 5ln( y + 3)  
 ∫ x + 4 dx = ∫ x + 4 − x + 4  dx = ∫ 1 − x + 4 − x + 4  dx =x − 5ln( x + 4)    x −1  x 1   4 1 

Reemplazando las anteriores integrales en A.

 x+4  x+4 x− y y − 5ln( y + 3) = x − 5ln( x + 4) + c ⇒ 5ln   = x − y + c ⇒∴   = ke  y +3  y+3
5. Resolver la ecuación diferencial homogénea ( y 2 + x 2 ) dx + xydy = 0 . Solución: para resolver la ecuación diferencial, se hará el siguientecambio de variable por ser una ecuación diferencial  y homogénea que tiene la forma y ' = f   . x ( y 2 − x 2 )  y = ux ( u 2 x 2 − x 2 ) = − u 2 − 1 ⇒ du x = 1 − 2u 2 dy du  2 2 ( y − x ) dx + xydy = 0 ⇒ dx = − xy  dy = du x + u ⇒ dx x + u = ux 2 u dx u  dx dx  Separando las variables e integrando se tiene: du 1 − 2u 2 u 1 1 −4u 1 1 1 2 2 x= ⇒∫ du = ∫ dx + c ⇒ 2 ∫ 1 − 2u 2 du = ∫ x dx + c ⇒− 4 ln(1 − 2u ) = ln kx ⇒ 1 − 2u = k1 x 4 dx u 1 − 2u x −4 Volviendo a las variables originales, según y = ux , se tiene.
1 2 x 2 y 2 + k1  y 1 − 2   = k1 4 ⇒ 1 = ⇒∴ 2 x 2 y 2 + k1 = x 4 4 x x x
2

5

2


y x

Ecuaciones Diferenciales de Primer orden y Aplicaciones

y   6. Resolver la ecuación diferencial homogénea  x + ye  dx − xe x dy = 0 , si y (1) = 0 .  

x...