Ejercicios Resueltos Algebra Lineal

0.1.

0.1

UNIDAD 1. ALGEBRA DE MATRICES

UNIDAD 1. ALGEBRA DE MATRICES

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES.

1

1
2

A=

1. a) Dada la matriz
Solución.

2
3

Calcular

A2 − 5A + 2I.

2

1
2

2
12
10
−5
+2
3
23
01
58
5 10
20
2 −2
=
+
=
8 13
10 15
02
−2
0


100
2 1 Calcular A2 − 5A + 2I.
b) Dada la matriz  0
003
Solución


−2 0
0A2 − 5A + 2I.= 0 −4 0 
0
0 −4
12
2 −1
c) Dadas las matrices A =
,B =
34
−3 −2
2
i) (A + B )
2
2
ii) A + 2AB + B
A2 − 5A + 2I.=

Calcular

¾Los resultados deberían coincidir.?.
Solución:

2

31
95
=
02
04
2
2
ii) A + 2AB + B
12
12
12
=
+2
34
34
34
7 10
−4 −5
=
+2
+
15 22
−6 −11
60
=
37
i)(A

+ B )2 =

2 −1
−3 −2
0
7

7
0

2
−3

+−1
−2

2
−3

−1
−2

Los resultados no coinciden pues el cuadrado del binomio no se cumple en las matrices ,pues el
producto de matrices no es conmutativo,es decir que

d) Dadas las matrices
Calcular

A2 − B 2

A=

1
3

2
4

2
−3

,B =

AB = BA

−1
−2

Compruebe que es dintinto del producto

Solución.

A2 − B 2 =

0
15

2. Despejar la matriz

3. a)

2X +A = BX

1 profesor

10
15

es distinto de

X

y hallar la matriz

Si

A=

1
−1

−2
0

(A − B )(A + B )=

X

(A − B )(A + B )
−3
18

5
18

de la ecuación :Unidad 2

, B=

Osvaldo Carvajal

1

−5
−1

3
0

0.1.

UNIDAD 1. ALGEBRA DE MATRICES

Solución : Despejando
por

X

X , ⇒ A = BX − 2X ⇒ A = (B − 2I ) · X ←Observe

la factorizaciónse hace por derecha.

suponiendo que (B − 2I ) es una matriz que posee inversa,
A = (B − 2I ) · X por (B − 2I )−1 por izquierda se tiene

entonces multiplicando la igualdad

(B − 2I )−1 · A = X
reemplazando las matrices A y B se tiene:

−5
−1

X = (B − 2I )−1 · A=

b)(A

− X )T + B = 3X T

si

3
0

1
0

−2

1
0

A=

−1
2

0
1

−1

1
−1

·

2
0

,B =−2
0

=

1
8

1
17

4
−2

−5
1

SoluciónUnidad 2

(A − X )T + B = 3X T ⇒ T ransponiendo ambos lados
T
T
T
(A − X )T + B T = 3X T , usando la propiedad AT = A

4. De

tenemos

1
(A − X ) + B T = 3X ⇒ A + B T = 4X .⇒ X = 4 (A + B T )

reemplazando las matrices A y B se tiene

c)

(AXB − I )T = B

Solución :

si

A=

−1
2

,B =

−1
2

1
0

−4−2

−5
1

2
0

+

T

)=

1
4

3
−5

−1
3

0
4

(AXB − I )T = B
⇒ AXB = B + I , suponiendo existen

Transponiendo ambos lados de

(AXB − I ) = B

se tiene

1
0

1
X = 4(

T

T

las matrices inversas de A

y de B ,entonces
Unidad 2

AXB = B T + I , por A−1 por izquierda
A AXB = A (B + I ) ⇒ XB = A−1 (B T + I ) Ahora multiplicamos por B −1 porderecha
−1
para obtener ⇒ XB · B
= A−1 (B T + I ) · B −1 ⇒ X = A−1 (B T + I ) · B −1

5. multiplicamos a ambos lados de

−1

−1

T

reemplazando las matrices A y B se tiene.

−1

T

1 −1
−4 0
1
(
+
02
−2 4
0
−4 −2
10
40
−1
(
+
)
16
0
4
01
2 −4
3 −2
40
26 −4
−1
1
(
)
= 32
16
05
2 −4
10 −20

X = A−1 (B T + I ) · B −1 =
X=
X=

1
2
1
2

21
0121
01

0
1

)

−4
−2

0
4

−1

6. . (Costos de materias primas) Una empresa utiliza tres tipos de materias primas M1,M2,M3 en
la elaboración de dos productos P1,P2 .El número de unidades M1,M2 y M3 usados por cada
unidad de P1 son 3 , 2 y 4 respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente
.Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 a la semana y 30unidades de P2 a la semana
.Exprese las respuestas a las preguntas como producto de matrices
2

0.1.

UNIDAD 1. ALGEBRA DE MATRICES

a) Calcule el consumo semanal de las materias primas
b) Si los costos por unidad en dólares para M1,M2 y M3 son 6 , Unidad 2
7. 10 y 12 respectivamente. Calcular los costos de materias primas por unidad de P1,P2

Solución:
Los datos se registran en la...