Ejercicios resueltos

Ejercicio 4.12

El Sr. Juan López trabaja en una empresa donde recibirá este mes de abril, a fines de mes, un sueldo de $350,000. Su jefe ha prometido subirle el sueldo todos los meses a una tasa de 7% mensual.
Por otra parte, el Sr. López hace todos sus gastos de consumo el último día del mes, al minuto después de haber recibido su sueldo. El resto lo deposita en una cuenta de ahorro al 3%mensual.
Finalmente, el Sr. López gastará este mes en consumo $ 280,000. Como su sueldo irá creciendo, él ha decidido que también lo hará su consumo. Sólo que este último lo hará a una tasa de 4% mensual.
Se pide:
Ago
Jul
Abr
May
Jun
Sep
Oct
Nov
Plantee sin resolver la ecuación de diferencias que rige la evolución del saldo en la cuenta de ahorro a través del tiempo. Justifique claramentesu respuesta, explicitando cualquier supuesto adicional que considere necesario.

| | | | | | | | | |
| | | | | | 5
6
2
3
1
0
7
4
| …
| | n
|

Tenemos que el Sr. López depositará a finales de abril la cantidad de
$350000-$280000=$70000
Dicha cantidad estará depositada n períodos a una tasa del 3% anual, con lo cual se tendrá en el mes n la cantidad de:$70000*(1.03)n
Dado que su sueldo y consumo crecerá al 7% y 4% mensual, respectivamente, el monto depositado a finales de mayo será de:
$350000(1.07)-$280000(1.04)
El cual al mes n será
$350000(1.07)-$280000(1.04)*(1.03)n-1

Sea m número correspondiente al mes del depósito, tendremos que la evolución del saldo en la cuenta de ahorro vendrá dado por:350000-280000(1.03)n+350000(1.07)-280000(1.04)(1.03)n-1+…+350000(1.07)m-280000(1.04)m2)000)que claramente su respuesta, explicitando cualquier supuesto adicional que considere necesario.
(1.03)n-m
Con m= 0, 1, 2, 3,…, n
Utilizando la notación de sumatoria, tenemos:
m=0n350000(1.07)m-280000(1.04)m*(1.04)n-m

Ejercicio 4.14

La demanda por un determinado producto se puede descomponer en dos partes: a) la demanda privada, que sigue larelación:
QP(k) = 1000 – 2P(k)
Y b) la demanda del gobierno, que usa el producto en un programa de gasto social, y que sigue la relación:
QG(k) = 10. 1.1K
Es decir, la cantidad demandada por el gobierno crece al 10% anual partiendo de 10 unidades en el año 0.
Por otra parte, la oferta sigue la relación:
QS(k) = -500 + 1.5P(k-1)
Se pide:
a) Si en cada período la cantidad ofrecida esigual a la cantidad demandada, escriba la ecuación de diferencias que rige la evolución del precio de este producto.
Igualando oferta y demanda (privada y social):
1000-2PK + 10.1.1K= -500+ 1.5K-1
Encontrando ecuación de diferencias:
-2PK - 1.5K-1= -500-1000- 10.1.1K
2PK + 1.5K-1= 1500+ 10.1.1K
b) Resuelva la ecuación anterior suponiendo P(0) = 480

* Ecuación homogénea
2PK+ 1.5K-1= 0
2λ + 1.5 = 0
λ = -3/4
PKh= C(-34)K

* Ecuación particular
PKp=A+B(1.1)K
Sustituyendo:
2(A+B(1.1)K) + 1.5(A+B(1.1)K-1) = 1500+ 10.1.1K
2A + 2B(1.1)K + 1.5A + 1.5B(1.1)K-1 = 1500+ 10.1.1K
(2A + 1.5A) + (1.1)K(2B + 1.5/1.1B) = 1500+ 10.1.1K
Encontrando coeficientes:
3.5A = 1500 37/11B = 10
A = 428.47 B = 110/37 =2.97
PKp=428.47+2.97(1.1)K

*Solución general

PKh + PKp = C(-34)K + 428.47+2.97(1.1)K

Con P(0) = 480

480 = C(-34)0 + 428.47+2.97(1.1)0

C = 48.46

* Solución particular

PK = 48.46(-3/4)K + 428.47 + 2.97(1.1)K

c) Analice la ecuación anterior en todo lo que se refiere a equilibrio y estabilidad
Para encontrar el equilibrio se aplican límites a la ecuación:
limK→∞48.46(-3/4)K + 428.47 + 2.97(1.1)^kn
Con locual concluimos que no existe un equilibrio y que la ecuación es inestable, pues al encontrar el límite vemos que la ecuación tiende al infinito. El componente (1.1)K la vuelve inestable.
Ejercicio 4.15

Suponga que la tasa de crecimiento del Ingreso Nacional de Chile es una función lineal de la tasa de crecimiento del Ingreso Nacional de Estados Unidos. Es decir,
TCChile=a+bTCUSA
Cuando...