Variables complejas

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Introducción
El análisis matemático es la rama de la matemática que proporciona métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. Surge así, de manera natural, en un período en el que el desarrollo de la mecánica y la astronomía nacida de los problemas de la tecnología y la navegación, habían proporcionadoya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de movimiento. Las variables complejas Se definen exactamente de la misma manera que la única diferencia es que son funciones con valores de realidad compleja, es decir, que son vectores en este espacio bidimensional de números complejos,cada uno con un real y una parte imaginaria (o componentes). Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite.
El análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en eltranscurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites

Variables Complejas:
Funciones de (x, y) que dependen exclusivamente de la combinación (x + iy) se conocen como funciones de una variable compleja y las funciones de este tipo que se puede ampliar en serie de potencias en estavariable son de particular interés.
Esta combinación (x + iy) es generalmente llamado z, y podemos definir funciones como z n, exp (z), z el pecado, y todas las funciones estándar de z, así como de x.
Se definen exactamente de la misma manera que la única diferencia es que son funciones con valores de realidad compleja, es decir, que son vectores en este espacio bidimensional de númeroscomplejos, cada uno con un real y una parte imaginaria (o componentes).
La mayoría de las funciones estándar que hemos discutido previamente tienen la propiedad de que sus valores son reales cuando sus argumentos son reales. La excepción obvia es la función raíz cuadrada, que se convierte en imaginarios de argumentos negativos.
Dado que podemos multiplicar z por sí misma y por cualquier otro númerocomplejo, podemos formar cualquier polinomio en z y cualquier serie de potencias también. Definimos las funciones exponenciales y seno de z por sus expansiones en serie de potencias que convergen en todo el plano complejo.
Puesto que todas las operaciones que producen las funciones estándar se puede aplicar a las funciones complejas que pueden producir todas las funciones estándar de unavariable compleja por los mismos pasos que van a producir las funciones estándar de las variables reales.
Sea (x,y) ≠ (0,0) y s= x+iy
La forma trigonométrica de s está dada por: s=r (cos θ + i sen θ)
Donde r = │s│≠ 0 y θ= arg(s) es el argumento de s. cuando Ѳ ∈(-π,π), θ se llama argumento principal de s y se denota por Arg (s).
No definiremos ningún argumento para el numero complejo 0= 0 + 0i.Teorema de Moivre:
s = r (cos θ + i sen θ)
Cualquier numero complejo dado en forma trigonométrica y sea n cualquier entero positivo, entonces sⁿ = rⁿ (cos nθ + i sen nθ)
Del teorema de Moivre se deducen las siguientes propiedades:
Si s1 = r1 (cos θ1 + i sen θ3),s2 = r2 (cos θ2 + i sen θ3), son cualesquiera dos números complejos distintos de cero entonces: s1s2 = r1r2 (cos (θ1+θ2)+ i sen(θ1+θ2))
s1/s2=r1/r2 (cos (θ1+θ2)+ i sen (θ1+θ2))
En particular: 1/s1=1/r1 ( cos θ1-isen θ1)
Ejemplo:
Calcular la integral:



Respuesta
El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) 2/(z4 + 1), con lo que tendremos:



Y las raíces del denominador son:



En general, para obtener las raíces de za, con a = l/n, tenemos:...
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