El secreto

Función inyectiva

En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no esinyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
* Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 =x2.
* Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:
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* Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de la inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
* La funciónf : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
* La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
* La función exponencial exp : R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no generanumeros negativos, los cuales no tienen relacion con ningun valor de x).
* El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
* La función g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).
En términos más generales, cuando X y Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función inyectiva f : R → R es aquellacuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal
Función sobreyectiva
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de comomínimo un elemento de "X".
Formalmente,

Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:
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Función biyectiva

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elementodel conjunto de salida.
Formalmente,

Una implicación directa de lo anterior, es que en una función biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto también se puede ver en el ejemplo, donde |X|=|Y|=4.
Ejemplo
La función:

es biyectiva.
Luego, su inversa:

también lo es.[1]
El siguiente diagrama se puede ver cuando la función esbiyectiva:
Funciones | Inyectiva | No inyectiva |
Sobreyectiva | |
Biyectiva |
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No sobreyectiva | | |
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la...