estadistica descriptiva

TEMA 1: VARIABLE ESTADÍSTICA
UNIDIMENSIONAL

BLOQUE I:
Análisis Estadístico Unidimensional

ÍNDICE
Tipos de frecuencias.
Características de una distribución de frecuencias.
Medidas de posición.
Medidas de dispersión.
Medidas de forma.

Distribuciones de frecuencias: tipos de frecuencias

OBSERVACIONES
DE LA VARIABLE

DATOS

Recogida y Ordenación de datos:
*Se realizan Nobservaciones de la variable X
*Se ordenan de menor a mayor
*Se construye la tabla de frecuencias

TIPOS DE FRECUENCIAS
Frecuencia total

N

Frecuencia absoluta

ni

Frecuencia relativa

fi = ni / N

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa acumulada

N i = ∑ ni
x ≤ xi

Fi = Ni / N

Distribución de frecuencias (xi; ni)

TIPOS DE FRECUENCIAS

Observaciones:n

∑n

=N

Nn = N

∑ fi = 1

Fn = 1

i =1

n

i

i =1

Recorrido : R = máx (xi) – mín (xi)

Características de una distribución de frecuencias

Resumen de la
información
contenida en la
tabla de
frecuencias

Características de una
distribución de frecuencias:
•Medidas de posición
•Medidas de dispersión
•Medidas de forma

MEDIDAS DE POSICIÓN

MEDIDAS DEPOSICIÓN
MEDIDAS DE POSICIÓN

Central
Media aritmética
Alpha-trimmed mean
Alpha-Winsorized mean
Media geométrica
Media armónica
Mediana
Moda

No Central
Cuantiles:
Cuartil
Decil
Percentil

MEDIDAS DE POSICIÓN: CENTRAL
MEDIA ARÍTMÉTICA:

x1 n1 + x2 n2 + ⋯ + xn nn 1
x=
=
N
N
Cuando la distribución
está agrupada en
intervalos, utilizamos
las marcas de clase.

n

x = ∑xi f i
i =1

n

∑x n
i =1

i

i

MEDIDAS DE POSICIÓN: CENTRAL
Propiedades de la media aritmética:
• La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a
su media es cero .
n

∑ (x
i =1

n

i

− x ) ni = 0

n

n

∑ ( x − x )n =∑ x n − x ∑ n
i =1

i

i

i =1

i i

i =1

i

= xN − xN = 0

MEDIDAS DE POSICIÓN: CENTRAL
Propiedades de lamedia aritmética:
• La media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la
variable respecto a una constante k se hace mínima cuando k =
. (Tma de Köning)

x

n

1
N
1
f (k ) =
N
1
f ´(k ) =
N

∑ (x − k)
i =1

i

2

ni = mínimo si k = x

n

( xi − k ) 2 ni
∑
i =1
n

1
∑ 2( xi − k )ni (−1) = 0 ⇔ N
i =1

n

∑ ( x − k )n
i =1

i

i

=0⇔k =xMEDIDAS DE POSICIÓN: CENTRAL
Propiedades de la media aritmética:
• Cambio de origen. Si a todos los valores de una variable se les
suma o resta una cantidad constante “b”, entonces su media
también queda aumentada o disminuida en esa cantidad.

xi → yi = xi ± b ⇒ y = x ± b
1
y=
N

n

1
∑ yi ni = N
i =1

n

1
∑ (xi ± b)ni = N
i =1

n

1
∑ xi ni ± N
i =1

n

∑ bn
i =1i

= x ±b

MEDIDAS DE POSICIÓN: CENTRAL
Propiedades de la media aritmética:
•

Cambio de escala. Si se multiplican todos los valores de una
variable por una cantidad constante “a”, entonces su media
también queda multiplicada por “a”.

xi → y i = axi ⇒ y = ax
1
y=
N

n

1
∑ yi ni = N
i =1

n

1
∑ (axi )ni = N
i =1

n

1
∑ axi ni = a N
i =1

n

∑xn
i =1

ii

= ax

MEDIDAS DE POSICIÓN: CENTRAL
Propiedades de la media aritmética:
•

Cambio de origen y escala

xi → yi = axi ± b ⇒ y = ax ± b

MEDIDAS DE POSICIÓN: CENTRAL
Propiedades de la media aritmética:
• Si se dividen los datos de la variable en varias partes y conocemos
la media aritmética de cada parte, entonces se puede calcular la
media aritmética del total de datos tratandoa la media de cada
subconjunto como datos concretos.
p

xi
x1
...

...

xf

nf
nl

...

...

xn

nn

}

k =1

...

xl

xp

n1

...

x1

∑N

ni

N1

}

Np

k

=N

n

1 f
 ∑ xi ni + ... + ∑ xi ni  =
x= 

N  i =1
i =l

f

 ∑ xi ni
1
=
N1 i =1
+ ... + N p

N
N1


1
= (x1 N1 + ... + x p N p )
N


∑ xi ni ...