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PROBLEMA TEMA 5 100 componentes elegidos al azar son contrastados (sin reemplazamiento) de forma que el test es detenido cuando han fallado 9 componentes (test censurado o limitadopor fallos). Si el tiempo hasta el fallo en horas fue: 60 115 370 415 508 560 630 820 900

Estímese suponiendo que la variable Tiempo hasta el fallo se distribuye según un modeloexponencial: a. la vida media y la tasa de fallo b. la fiabilidad a las 5.000 horas c. construir un intervalo de confianza del 95 % de la vida media d. el fabricante de los componentesafirma que la vida media de los componentes que fabrica es estrictamente mayor que 5000 horas, ¿es aceptable dicha afirmación?

Solución: a) Se trata de un ensayo censurado, con n = 100y r = 9.

ˆ La estimación puntual del parámetro vida media es: θ

=∑

ti T = r i =1 r
n

Calculamos T = 60+115+370+415+508+560+630+820+900+91·900 = 86278 Por tanto,

θˆ =T 86278 = = 9586,44 r 9

En consecuencia, a estimación puntual del parámetro tasa de fallo será

ˆ λ=

1 1 = = 0,0001043 ˆ 9586,44 θ

b) R(5000) = exp (-5000·0,0001043) =0,5935 c) IC0,95(θ) = [

2 ⋅T

χ

2(α 2 ) 2r

,

2 ⋅T

χ

2 (1−α 2 ) 2r

]=[

2·86278 2·86278 , ] = [5473,45 ; 20964,16] 31,526 8,231

d) Estamos ante un contraste dehipótesis, que podemos plantear de la siguiente forma: H0 : θ = 5000 (o bien θ ≤ 5000) H1 : θ > 5000 Sabemos que la región de aceptación se define como:

2 ⋅T

θ0

2 < χ 2 r(α )Calculamos primero

2T

θ0

=

2·86278 = 34,51 5000

Ahora calculamos

2 χ 22r(α ) = χ 18( 0, 05) = 28,87

Por tanto, los resultados indican (dado que 34,51>28,87) queno estamos en la región de aceptación sino en la de rechazo, y por tanto la conclusión sería que debemos rechazar H0, y en consecuencia aceptar la afirmación del fabricante.

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