Estadistica
Páginas: 4 (994 palabras)
Publicado: 11 de junio de 2010
Varianza
Definición 3.13 Se llama varianza de y se denota por , a la esperanza de la variable aleatoria, si esta existe.
Se demuestra que la existencia de la varianza implica la existencia dela esperanza. Por el contrario, una variable aleatoria puede tener una esperanza pero no tener varianza. Es el caso, por ejemplo, si tiene por densidad:
El cálculo de las varianzas se simplifica,con frecuencia, gracias al siguiente resultado.
Proposición 3.14 La varianza de existe si y sólo si existe y se tiene:
Demostración : Para pasar de la definición a la formula anterior, bastadesarrollar el cuadrado y emplear la linealidad de la integral.
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La varianza mide cuanto se alejan del valor medio, , los valoresque toma . La varianza no es homogénea: si es una longitud expresada en metros, está expresada en metros cuadrados. Esto se corrige introduciendo la desviación estándar que es la raíz cuadrada de lavarianza. Las propiedades principales de la varianza son las siguientes.
Proposición 3.15
Para todo : .
Para todo : .
Si e son independientes, entonces:
Demostración : Las dosprimeras propiedades son consecuencia directa de la definición. Para la tercera, si e son independientes, entonces y también lo son. Tenemos por tanto:
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La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma se separan menos de según es más pequeña. El casoextremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor.
Teorema 3.16 Sea una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para todo :Demostración : Demostraremos este resultado para las variables continuas, el razonamiento para las variables discretas es análogo. Pongamos . Se tiene:
Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la...
Definición 3.13 Se llama varianza de y se denota por , a la esperanza de la variable aleatoria, si esta existe.
Se demuestra que la existencia de la varianza implica la existencia dela esperanza. Por el contrario, una variable aleatoria puede tener una esperanza pero no tener varianza. Es el caso, por ejemplo, si tiene por densidad:
El cálculo de las varianzas se simplifica,con frecuencia, gracias al siguiente resultado.
Proposición 3.14 La varianza de existe si y sólo si existe y se tiene:
Demostración : Para pasar de la definición a la formula anterior, bastadesarrollar el cuadrado y emplear la linealidad de la integral.
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La varianza mide cuanto se alejan del valor medio, , los valoresque toma . La varianza no es homogénea: si es una longitud expresada en metros, está expresada en metros cuadrados. Esto se corrige introduciendo la desviación estándar que es la raíz cuadrada de lavarianza. Las propiedades principales de la varianza son las siguientes.
Proposición 3.15
Para todo : .
Para todo : .
Si e son independientes, entonces:
Demostración : Las dosprimeras propiedades son consecuencia directa de la definición. Para la tercera, si e son independientes, entonces y también lo son. Tenemos por tanto:
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La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma se separan menos de según es más pequeña. El casoextremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor.
Teorema 3.16 Sea una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para todo :Demostración : Demostraremos este resultado para las variables continuas, el razonamiento para las variables discretas es análogo. Pongamos . Se tiene:
Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la...
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