Estadistica

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, osu contrario A’, llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A’) = 1 – p = q
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
Todo experimento que tengaestas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.
En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es ladistribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso sehan construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que facilitan el trabajo.
Calculo de la distribución de probabilidad binomial por tres métodos:
a) Utilización del Minitab 15.
b) Utilización de la fórmula
c) Utilización de las tablas binomiales
Por ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?

Donde:
* P(X) es laprobabilidad de ocurrencia del evento
* p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5)
* q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define como
q = 1 – p (0.50)
* X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tabla binomial tómese como r)
* n = número de intentos = 6
a) Cálculo de la distribución de probabilidad binomialutilizando el Minitab 15.

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el número 2 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se desea saber la probabilidad de que caigan exactamente dos caras). (Referirse a la figura 1)
Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Binomial
En seguida aparecerá la ventana "Binomial Distribution" ("Distribucion Binomial").* Seleccionar Probability
* En el campo de "Number of trials" (Número de intentos) colocar 6 (n)
* En el campo de "Event probability" colocar 0.50 (probabilidad de éxito)

* En el campo de "Input column" colocar el puntero del mouse y automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X el cual se selecciona con el puntero del mouse y luego presionar "Select"

* Unavez alimentado los datos presionar "OK" .

* Para obtener así el resultado.
La probabilidad de que caigan 2 caras en el lanzamiento de una moneda 6 veces es 0.234375.
Por lo tanto:

b) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando la fórmula

Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:

Resolviendo:

c) Cálculo de la distribución de probabilidad binomialutilizando las tablas binomiales.
* Para una combinación de n y p, la entrada indica una probabilidad de obtener un valor específico de r (ocurrencia del evento).
*
* Para localizar la entrada, cuando p≤0.50, localizar el valor de p a lo largo del encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente localizar n y r en el margen izquierdo.
* Para localizar la entrada, cuandop≥0.50, localizar el valor de p en la parte inferior de la tabla, y n y r arriba, en el margen derecho.

Resolviendo el mismo ejemplo pero utilizando las tablas binomiales se tiene que:
p = 0.50, n = 6 y r = 2
Obteniendo resultado directo de tablas

NOTA: Para este caso en particular donde p = 0.50 se puede obtener el resultado de las tablas trabajando como si p≤0.50 (encerrado en azul) o...