Estadistica

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.
Tema: Límite
Sea f una función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x seaproxima a un valor c, pero no es necesariamente igual a c. Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima a c", y se representa en forma simbólica de la forma:

La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que independientemente de lo próximo que esté xdel valor c , existe siempre otro valor de x (distinto de c) en el dominio de f está aún más próximo a c .
Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único.
Teorema: El límite,

existe si el límite por la izquierda,

y el límite por la derecha,

son iguales.
Ejemplos para discusión: Para hallar el límite observando tablade valores y la gráfica en cada una de las siguientes funciones.
1) Sea f(x) = x2 + 1. ¿A qué valor en particular se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?
Simbólicamente, se escribe:

Diez es el valor a que se aproxima la función cuando x se aproxima a 3.
Nota: En este ejemplo se puede observar que el valor de la función cuando x = 3 esigual al valor del límite. Esta propiedad la tienen las funciones polinómicas, esto es, el límite cuando x se aproxima o tiende a c se puede calcular sustituyendo c por x en el polinomio.
2) Sea

El dominio de f contiene a todos los números reales excepto 1. Nota que no nos interesa hallar el valor de f(x) en 1, puesto que la función no está definida para ese valor. Lo que se busca es elvalor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x se aproxima a 1?
 
Es importante entender que el límite L de f(x) cuando x se aproxima o tiende a c no depende del valor de f(x) en x = c. El límite está determinado sólo por los valores de f(x) cuando x está cerca de c.
3) Sea

El dominio de f consiste de todos los números reales excepto cero. ¿Quéocurre en f(x) según x se aproxima o tiende a cero?
4) Considera

¿Qué ocurre cuando x tiende a cero en f(x)?
 
Ejemplos para discusión: Calcula el límite mediante proceso algebraico.

4)
si existe donde:

 
Tema: Introducción a límites infinitos
 
Considera la función:

1. ¿Qué tipo de función es f?
2. ¿Cuál es el dominio de f?
3. Completa la siguiente tabla de valores:
x |f(x) |
1000 |   |
100 |   |
10 |   |
0.1 |   |
0.01 |   |
0.001 |   |
4. ¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la derecha?
 
 
5. ¿Se acercan los valores de f(x) a un valor en particular?
 
6. Completa la siguiente tabla de valores:
x | f(x) |
-1000 |   |
-100 |   |
-10 |   |
-0.1 |   |
-0.01 |   |
-0.001 |   |
7. ¿Qué ocurre con losvalores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la izquierda?
 
8. ¿Se acercan los valores de f(x) a algún valor en particular?
 
Tema: Límites infinitos
Los tipos de límites en los que f(x) se hace infinita cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha se conocen como límites infinitos.
¿Qué ocurre cuando x se aproxima o tiende a cero en la función

Cuando x tiende a cero por laderecha, los valores de la función que son positivos, se convierten arbitrariamente grande. Es decir, los valores de la función aumentan. Mientras que, cuando x tiende a cero por la izquierda, los valores de la función son negativos, se convierten arbitrariamente menores. Es decir, los valores de la función disminuyen. Gráficamente en ambos casos, f(x) crece o decrece sin tope, sin fronteras....