Estatica

ESTÁTICA
FUERZAS DISTRIBUIDAS:
CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD
5.1 Introducción
Hasta ahora hemos tratado con fuerzas concentradas representadas por un vector con su módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación.
Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un punto sino que están distribuidas a lo largo de una línea o sobre una superficie.Son cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. La fuerza distribuida está caracterizada por su intensidad y por su dirección y sentido.
Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada.
Otras fuerzas llamadas másicas, debidas a efectos gravitatorios, eléctricos o magnéticos, se distribuyen portoda la masa del cuerpo (se miden en N/m3).
La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida normalmente a ésta se denomina presión y se mide en N/m2.
La fuerza distribuida sobre una línea ejercida normalmente a ésta se mide en N/m.
Hasta ahora hemos considerado los momentos de fuerzas respecto a un punto o respecto a un eje.
En el análisis de muchos problemas de ingeniería aparecenexpresiones que representan momentos de masas, fuerzas, volúmenes, superficies o líneas respecto a ejes o planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el plano xy) respecto al eje y.
La superficie puede considerarse compuesta por un gran número de elementos de superficie muy pequeños de área dA, así el momento de un elemento respecto al eje será:
Y el moemto total de la superficie Arespecto del eje y será:

El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o línea respecto a un eje o a un plano puede definirse de manera análoga recibiendo el nombre de primer momento de la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo o negativo ya que las coordenadas pueden ser positivas o negativas.
5.2 Centro de masa y centro de gravedad
Centro de masa (CDM)
Puntode un sistema de puntos materiales o de un cuerpo físico en donde podría concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.
Si consideramos un sistema de n puntos materiales, las distancias a los planos de coordenadas del CDM G del sistema de puntos materialesson:

Donde

Las ecuaciones anteriores pueden condensarse en una ecuación vectorial única así:

Donde

que se reduce a

ya que el vector de posición del punto i-ésimo respecto al origen es
y el vector de posición del CDM respecto al origen es
Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por integrales extendidas a toda la masa del cuerpoDonde

Vectorialmente

donde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo respecto al origen, ρ es la densidad del elemento y dV es su volumen

Centro de gravedad (CDG)
El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen elcuerpo.
* El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el CDG del cuerpo.
* El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra. En la práctica se supone que todos los puntosa del cuerpo experimentan la misma aceleración gravitatoria g. Además, debido al tamaño dela Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hipótesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:
* Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el cálculo del CDM tendremos:


Donde

Cuando el cuerpo tenga una...