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I° Unidad

ALGEBRA PROPOSICIONAL

1.1 Definiciones Previas:

- Un término es una palabra o un grupo de palabras (o un símbolo) que utilizamos para referirnos a uno o más objetos.
- Es singular cuando el término se refiere a un solo individuo.(nombre propio)
- Es general cuando el término se refiere a todos los objetos de una clase.(común)
Ejemplos:Singular: José, Lambayeque, el sol, 125, A, etc.
General: persona, ciudad, estrella, numeral, letra, etc.
- Una proposición es una expresión aseverativa que tiene la propiedad de poder ser calificada como Verdadera o como Falsa, aún cuando no se sepa el valor de verdad .
- Una proposición simple es una expresión que consta de uno o varios sujetos ( que necesariamentetienen que ser términos singulares) y de un predicado que indica una propiedad de dichos sujetos.
Ejemplo:
Juan es padre de Luis
x está comprendido entre 0 y 1
N, Z, Q y R son conjuntos numéricos.
4 es un número par.
Son múltiplos de 3, a, b, c, d.
Observe que los sujetos están subrayados y son todostérminos singulares.
-Una proposición no es simple si el sujeto no es un término singular
Ejemplo:
Todo es explícito
Algo es metrizable
Los números pares son divisibles por tres.

El centro de nuestro primer capítulo será por ahora: la PROPOSICION.
Veamos esquemáticamente donde se ubica en el contexto de la Lógica:

Lógica Formal

Teoríade las Proposiciones

Sintaxis Semántica

Estructura Conceptos
Y para la
Composición InterpretaciónDe las

PROPOSICIONES

Ejemplo I:
Sea la proposición:

x está comprendido entre 0 y 1.

En símbolos matemáticos escribimos:

0 < x < 1

Analicemos la sintaxis y la semántica:

Sintaxis: Tiene la estructura de una proposición simple .Denotémosla por “ p “.
Ahorapodemos escribir:

0 < x [pic] x < 1

la cual tiene una estructura de una proposición compuesta , resultante de la conjunción de dos proposiciones simples, a saber:

0 es menor que x .Denotada : “q”
x es menor que 1 Denotada : “r “.

Esto es:

Semántica: Supongamos quela variable x es el número real “5” (x = 5).

Sustituimos en la proposición simple el valor asignado a la variable y la expresión se convierte en :

“p” : 5 está entre 0 y 1. Evidentemente su valor de verdad es Falso.

Por otro lado:

“ q “ : 0 es menor que 5 . Tiene por valor de verdad , Verdadero.“ r “ : 5 es menor que 1 . Cuyo valor de verdad es Falso .
La composición resultante será la conjunción : “ q [pic] r “ es también Falsa.

Esquemáticamente esto es : “ p “ “ q [pic] r “
F V [pic] F
FF

Semánticamente ambas estructuras se dicen equivalentes, aunque sintácticamente son diferentes.
- Dos proposiciones se dicen que son equivalentes cuando tienen la misma Tabla de Verdad
RECORDEMOS:
Sean “ p “ y “ q ” , dos proposiciones. Sean los conectivos:
conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, negación
[pic] , [pic] ,...
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