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MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.

DEFINICIÓN
La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo -mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).
A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.

TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)
Sea una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio. |

Nota
La recta tangente enun extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero.

Ejemplo:

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.
TABLA DE VALORES |
X | Y | |
1/2 | -1/4 | P. Crítico |

RESUMEN
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Vamos a ver unos criterios parademostrar si un punto crítico, es o no un extremo.
Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en elpunto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abcisa , entonces .

Función creciente en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Función estrictamentedecreciente en un intervalo

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

Una función es estrictamente decreciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que esestrictamente decreciente en el intervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente decreciente en el punto de abcisa , entonces .

Función decreciente en un intervalo

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Definición de función creciente y decreciente
Funciones crecientes ydecrecientes. * Una función y = f (x) se llama función creciente si y aumenta (algebraicamente) cuando x aumenta Una función y = f(x) se llama función decreciente si y disminuye (algebraicamente) cuando x aumenta.
La gráfica de una función indica claramente si es creciente o decreciente. Por ejemplo, consideremos la gráfica.
Al variar un punto a lo largo de la curva de izquierda a derecha, la curva,es decir, a medida que la x del punto aumenta. la función (= y) a u m en t a. Evidentemente, Ay y Ax tienen un mismo signo.
Por otra parte en la siguiente gráfica, si el punto se mueve a lo largo de la curva de izquierda a derecha, la curva "baja"; es decir, a medida que la x del punto aumenta, la función (=y) disminuye siempre. Claramente y y x tienen signos opuestos

El hecho de que unafunción puede ser unas veces creciente y otras decreciente, puede verse en la sigueinte gráfica de la curva
1) y = 2 x3 - 9x2 + 12x - 3
Si un punto se mueve a lo largo de la curva de izquierda a derecha,
la curva sube hasta llegar al punto A, baja desde A hasta B y sube a la derecha de B.
Valores máximos y mínimos de funciones
Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos...
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