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1. PUNTOS CRÍTICOS:

Definición.- Sea la función f:D⊂ Rn→R definida en un conjunto abierto D⊂Rn . Los puntos x0 ϵ D donde todas las derivadas parciales de primer orden de f son ceros o no existen,se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de f.

Ejemplo: Hallar los puntos críticos o estacionarios de la función:
fx,y=x2y2-5x2-8xy-5y2

Solución

∂f(x,y)∂x=0Para calcular los puntos críticos o estacionarios
∂f(x,y)∂y=0

∂f(x,y)∂x=2xy2-10x-8y=0 …(1)

∂f(x,y)∂y=2x2y-8x-10y=0 …(2)

De la ecuación (1) despejamosx=8y2y2-10=4yy2-5 ahora reemplazamos en (2):

2y4yy2-5-84yy2-5-10y=0 , Simplificando yy4-10y2+9=0 entonces:
yy2-9y21=0 , de donde y=0 ,y=±1 , y=±3
Para y=0 , x=0 →0,0
y=1 , x=-1 →-1,1
y=-1 , x=1 →-1,1y=-3 , x=-3 →-3,-3
y=3 , x=3 →3,3

Luego los puntos críticos son (0,0), (-1,1), (1,-1), (-3,-3), (3,3)

OBSERVACIÓN: La condición necesaria para que una función tenga extremo relativo en unpunto, donde sus derivadas parciales existen, es que este punto sea un punto estacionario o crítico, sin embargo esta condición no es suficiente.
Ejemplo: La función fx,y=y2-x2 cuyas derivadasparciales son:

∂f(x,y)∂x=-2x=0
De donde: x = y = 0
∂f(x,y)∂y=2y=0


A pesar de esto la función no tiene máximo ni mínimo relativo, en este caso, a este tipo depuntos se denominan puntos de silla.

I. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

Sea f:D⊂ Rn→R una definición en el conjunto abierto D de tal manera que las derivadas parciales primeras y segundas de fsean continuas en la región abierta D que contiene un punto (a, b) tal que ∂f(x,y)∂x=0 y ∂f(x,y)∂y=0 .

Para determinar si en dicho hay un extremo relativo de f , definimos la cantidad:∆=∂2f(a,b)∂x2 . ∂2f(a,b)∂y2-∂2f(a,b)∂x∂y2

1) Si ∆ >0 y ∂2f(a,b)∂x2> 0, entonces f (a,b) es un valor mínimo relativo.

2) Si ∆ >0 y ∂2f(a,b)∂x2< 0, entonces f (a,b) es un valor...
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