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En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no sepueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunquecarentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculoavanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sinuna definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definicionesformales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalenciade sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos quepermitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de númerosracionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

entre muchas otrasexpresiones similares.
Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso...