Estudiante

Institución educativa juan pablo ii

Trabajo de : trigonometría ecuación general y canónica

Profesor:
Harold Uribe

Alumno:
Juan diego Díaz rincón

Grado:
11-1

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar elvalor de "y" correspondiente a un valor de "x".
Ejemplo: 
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

Ecuación General de la Circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia,así:Prueba:Ejemplo: 
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4 
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
D = -4 , E = -12 , F = +24
Observaciones:
Dada la ecuacion de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:

Sien esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:
x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─  r2 = 0   ecuación que ordenada sería
x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2  = 0
Si para tener una ecuación mássintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D, 
─ 2b = E, 
a2 + b2 ─ r2 = F 
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0  conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.
Si D = ─ 2a    entonces  
Si E = ─ 2b    entonces  Si F = a2 + b2 ─  r2 entonces 
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

                         a2 + b2 ─ F > 0  (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2  = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A, 
─2b = B,
a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente
x2 + y2 + Ax + By + C = 0   que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 
A modo de recapitulación
Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.
 
Seguimos conecuaciones de  circunferencias pero ahora dados 1 punto, o tangentes, sin radios, lo restante debemos sacarlo. Empiezo con el primer problema de 3.
Diámetro y segmento que une los puntos (-3 , 5) y (7 , -3).
Primero, hacemos la grafica con los 2 puntos. De esos 2 puntos como son diámetros, con una regla trazamos de punto a punto y nos dará exacto 13cm de Diámetro. Nosotros queremos el radio,entonces de 13 será 6.5cm de Radio (la mitad).Ahora la grafica.

Ahora, la ecuación de la circunferencia:
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
Sacamos la Ecuación Cartesiana. Solo agarramos el Pc y lo sustituimos. Lo único que hay que convertir es el radio elevado al cuadrado.
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
(X – 2)2 +  (Y – 1)2 =  6.52
(X – 2)2 +  (Y – 1)2 = 42.25
Sacamos sustitución de circunferencia. Esdecir, tomamos cualquiera de los 2 puntos de la circunferencia y lo sustituimos en la X y Y, para h y k tomamos Pc.
P(-3 , 5)  y  Pc(2 , 1)
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
(-3 – 2)2 +  (5 – 1)2 =  r2
(-5) 2 +  (4)2 =  r2
25  + 16  =  r2
41  =  r2
r  =  √41
r  =  6.5
Sacamos la ecuación general. Es la más importante de las 3, y el resultado que piden en exámenes y en tareas. Acá solo...